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时间:2020-06-13
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1、【例题】如图,直线AB与CD相交于点O,OM⊥AB,且OM平分∠NOC.若∠BOC=4∠NOB,求∠MON的度数.【分析】遇到类似“∠BOC=4∠NOB”这样条件,常设∠NOB=2x,∠BOC=8x(目的为了计算和书写方便,也为了更好理解,是常法——强烈建议),则有∠CON=6x,再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到∠MON=0.5∠CON=3x,∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°,求出x的值,进一步即可得∠MON的度数.【解】设∠NOB=2x,∠BOC=8x, 则∠CON=∠COB﹣∠B
2、ON =8x﹣2x=6x. ∵OM平分∠CON, ∴∠MON=0.5∠CON=3x, ∵OM⊥AB, ∴∠AOM=90°, ∴∠BOM=∠MON+∠NOB =3x+2x=90°, 解得x=180, ∴∠MON=3x=3×18°=54°, 即∠MON的度数为54°.【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质,熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键,同时务必要注意解题规,几何书写入门必须严格掌握【练习】如图,已知AB、CD相交于点O,OB平分∠C
3、OE,OF⊥AB于O,(1)若∠EOF=120°,求∠AOD的度数;(2)若∠BOE=1/4∠EOF,求∠DOE的度数【解】(1)∵OF⊥AB,∴∠BOF=90°又∵∠EOF=120°∴∠BOE=∠EOF﹣∠BOF=30°∵OB平分∠COE∴∠BOC=∠BOE=30°∵∠AOD=∠BOC∴∠BOC=30°;(2)设∠BOE=x,则∠EOF=4x∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE =4x-x=3x.∵∠BOF=90°,∴3x=90°,解得:x=30°∵OB平分∠COE,∴∠COE=2∠BOE=2x=6
4、0°∴∠DOE=180°﹣∠COE=120°.【例题】如图,直线EF,CD相交于点O,OA⊥OB,且OC平分∠AOF,(1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度数;(2)若∠AOE=α,求∠BOD的度数(用含α的式子表示);(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系?(1)∵∠AOE+∠AOF=180° (邻补角的定义),∴∠AOF=180°-∠AOE, =1800-400=140°;又∵OC平分∠AOF,∴∠FOC=0.5∠AOF=70°,∴∠EOD=∠FOC=70° (对顶角相等);
5、而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°,∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°;(2)∵∠AOE+∠AOF=180°, (邻补角的定义) ∴∠AOF=180°-∠AOE=180°﹣α; 又∵OC平分∠AOF, ∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α, ∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α (对顶角相等); 而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α, ∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α;(3)从(1)(2)的结果中不难观察出:∠AOE=2∠BOD.【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质,熟练
6、掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键,注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规.【练习】O为直线DA上一点,OB⊥OF,EO是∠AOB的平分线.(1)如图(1),若∠AOB=130°,求∠EOF的度数;(2)若∠AOB=α,90°<α<180°,求∠EOF的度数;(3)若∠AOB=α,0°<α<90°,请在图(2)中画出射线OF,使得(2)中∠EOF的结果仍然成立.【解答过程】(1)∵EO是∠AOB的平分线, ∠AOB=130°,∴∠AOE=0.5∠AOB=650.∵OB⊥O
7、F,∴∠BOF=90°,∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF =130°﹣90°=40°,∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF =65°﹣40°=25°;(2)∵∠AOB=α,90°<α<180°, EO是∠AOB的平分线,∴∠AOE=0.5∠AOB=0.5α,∵∠BOF=90°,∴∠AOF=α﹣90°,∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF =0.5α﹣(α﹣90°) =900-0.5α;(3)如下图示,∵∠AOB=α,0°<α<90°,∴∠BOE=∠AOE=0.5α,∵∠BOF=90°,∴∠EOF=
8、∠BOF﹣∠BOE =900-0.5α.【试题】如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=∠E.求证:AD∥BC.【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件:错角∠2和∠E相等.证明:∵AE平分∠BAD, ∴∠1=∠2, ∵AB∥CD, ∴∠1=∠CFE ∵∠CFE=∠E,
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