相交线和平行线提高题.doc

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1、【例题】如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，且OM平分∠NOC．若∠BOC=4∠NOB，求∠MON的度数．【分析】遇到类似“∠BOC=4∠NOB”这样条件，常设∠NOB=2x，∠BOC=8x（目的为了计算和书写方便，也为了更好理解，是常法——强烈建议），则有∠CON＝6x，再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到∠MON=0.5∠CON=3x，∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°，求出x的值，进一步即可得∠MON的度数．【解】设∠NOB=2x，∠BOC=8x，　　　则∠CON=∠COB﹣∠B

2、ON     　　　　　=8x﹣2x=6x.　　∵OM平分∠CON，　　∴∠MON=0.5∠CON=3x，　　∵OM⊥AB，　　∴∠AOM=90°，　　∴∠BOM=∠MON+∠NOB　　　　　=3x+2x=90°，     　解得x=180，　　∴∠MON=3x=3×18°=54°，　　即∠MON的度数为54°．【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，同时务必要注意解题规，几何书写入门必须严格掌握【练习】如图，已知AB、CD相交于点O，OB平分∠C

3、OE，OF⊥AB于O，（1）若∠EOF=120°，求∠AOD的度数；（2）若∠BOE=1/4∠EOF，求∠DOE的度数【解】（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°又∵∠EOF=120°∴∠BOE=∠EOF﹣∠BOF=30°∵OB平分∠COE∴∠BOC=∠BOE=30°∵∠AOD=∠BOC∴∠BOC=30°；（2）设∠BOE＝x,则∠EOF=4x∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE          =4x－x=3x.∵∠BOF=90°，∴3x=90°，解得:x=30°∵OB平分∠COE，∴∠COE=2∠BOE=2x=6

4、0°∴∠DOE=180°﹣∠COE=120°．【例题】如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，(1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；(2)若∠AOE=α，求∠BOD的度数(用含α的式子表示)；(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？（1）∵∠AOE+∠AOF=180°　　　（邻补角的定义），∴∠AOF=180°－∠AOE，　　　＝1800－400＝140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=0.5∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°　　（对顶角相等）；

5、而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；（2）∵∠AOE+∠AOF=180°，　　　（邻补角的定义）　∴∠AOF=180°－∠AOE=180°﹣α； 又∵OC平分∠AOF， ∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α， ∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α   （对顶角相等）； 而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α， ∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α；（3）从（1）（2）的结果中不难观察出：∠AOE=2∠BOD．【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质，熟练

6、掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规.【练习】O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线．（1）如图（1），若∠AOB=130°，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB=α，90°＜α＜180°，求∠EOF的度数；（3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中∠EOF的结果仍然成立．【解答过程】（1）∵EO是∠AOB的平分线，　　　∠AOB=130°，∴∠AOE＝0.5∠AOB＝650.∵OB⊥O

7、F，∴∠BOF=90°，∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF　　　=130°﹣90°=40°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF　　　=65°﹣40°=25°；（2）∵∠AOB=α，90°＜α＜180°，     EO是∠AOB的平分线，∴∠AOE=0.5∠AOB＝0.5α，∵∠BOF=90°，∴∠AOF=α﹣90°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF     　=0.5α﹣（α﹣90°）　　　=900－0.5α；（3）如下图示，∵∠AOB=α，0°＜α＜90°，∴∠BOE=∠AOE=0.5α，∵∠BOF=90°，∴∠EOF=

8、∠BOF﹣∠BOE      =900－0.5α．【试题】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：错角∠2和∠E相等.证明：∵AE平分∠BAD，   　 ∴∠1=∠2，      ∵AB∥CD，     ∴∠1=∠CFE     　∵∠CFE=∠E，