函数模型及其应用

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1、第课函数模型及其应用体育中心江超【教学目标】一、知识目标1、通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2、了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用．二、能力目标结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．三、情感目标体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．【教学重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数

2、、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．【教学难点】怎样选择数学模型分析解决实际问题．【知识点梳理】一、几类常见的函数模型（1）一次函数模型：f(x)＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）；（2）反比例函数模型：f(x)＝＋b（k、b为常数，k≠0）；（3）二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）；（4）指数函数模型：f(x)＝abx＋c（a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1）；（5）对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n（m、n、a为常数，a>0，a≠1）；（6）幂

3、函数模型：f(x)＝axn＋b（a、b、n为常数，a≠0，n≠1）；（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．二、通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：（1）收集数据；（2）根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；（3）根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；（4）选择其中的几组数据求出函数模型；18/18（5）将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤(3)、(4)、(5)；若符合实际，则进入下一步；（6）用求得的函数模型去解决实际问题．【典型例题】题型一、函数图象

4、变化规律例题1：（2008年全国）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）stOA．stOstOstOB．C．D．【答案】选A【点评】体会将生活实际问题转化为函数模型，用函数图象来描述变化规律．例题2：如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）【解析】选C；A、B、D的面积都是随着t的增大而

5、增长的速度越来越快，到t＝时，增长的速度又减慢，而C图则从t＝开始匀速增大与f(t)不符．【点评】本题关键抓住t每增加单位长度，面积的增量的变化大小．变式1：（2007年广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）18/18A．B．C．D．【解析】C；将实际问题转化为为一次函数模型．变式2：某地一年内的气温（单位：℃）与时刻（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃．

6、令C(t)表示的时间段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）【解析】选A；由图可以发现当t=6时，C(t)=0，排除C；t=12时，C(t)=10，排除D；t在大于6的某一段气温超于10，所以排除B，故选A．题型二、分段函数模型的应用例题3：某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t,P），点（t,P）落在图中的两条线段上．该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示：第t天4101622Q（万股）36302418（1）根据提供的图象，写出该种股

7、票每股的交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？【解析】（1）设表示前20天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为P＝k1t＋m，由图象得，解得，即P＝t＋2；设表示第20天至第30天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为P＝k2t＋n，18/18由图象得，解得，即P＝－t＋8.综上知P＝（t∈N）．（2）由表知，日交易量Q与时间t满

8、足一次函数关系式，设Q＝at＋b（a、b为常数），将