函数模型及其应用

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.函数模型考查的重点是函数模型的建立以及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求解最值，如2012年江苏T17等．2.考查题型以解答题为主.[归纳·知识整合]1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次

2、函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)　　2.三种函数模型性质比较y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象

3、与x轴接近平行随n值变化而不同[探究]　1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．2．你认为解答数学应用题的关键是什么？提示：解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型．[自测·牛刀小试

4、]1．(教材习题改编)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为(　　)A．5h　　　　　　　　　　B．10hC．15hD．30h解析：选B　假设一开始两种细菌数量均为m，则依题意经过x小时后，细菌A的数量是f(x)＝m·2，细菌B的数量是g(x)＝m·4，令m·2＝2·m·4，解得x＝10.2．(教材习题改编)在某种新型材料

5、的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y＝2xB．y＝log2xC．y＝(x2－1)D．y＝2.61cosx解析：选B　通过检验可知，y＝log2x较为接近．3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x

6、的函数关系是(　　)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析：选D　y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1200.4．(教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．解析：因为储蓄按复利计算，所以本利和y随存期x变化的函数关系式是y＝a(1＋r)

7、x，x∈N*.答案：y＝a(1＋r)x，x∈N*5．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________元．解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案：12.5利用函数刻画实际问题[例1]　如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　)A．1个　　　　　　　　　　B．2个

8、C．3个D．4个[自主解答]　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．[答案]　A———————————