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1、第二讲参数方程1、参数方程的概念（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为;（2）选取适当的参数;（3）根据已知条件
2、和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;２、圆的参数方程sinθ=cosθ=tanθ=cotθ=y／rx／ry／xx／y1三角函数定义A(x,y)yxoθrsecθ=r／xcscθ=r／y一复习回顾①并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y),都在圆O上.5o思考1：圆心为原点，半径为r的圆的参数方程是什么呢？我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，是参数.观察2(a,b)r又所以圆心为原点半径为r的圆的参数方程.其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度圆心为，半径为r的圆的参数方程一般地，同一
3、条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为(θ为参数)练习：1.填空：已知圆O的参数方程是(0≤＜2)⑴如果圆上点P所对应的参数，则点P的坐标是A的圆，化为标准方程为（2，-2）1xMPAyO解:设M的坐标为(x,y),∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4si
4、nθ圆x2+y2=16的参数方程为例2.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?例题：解:设M的坐标为(x,y),∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点坐标公式得:点P的坐标为(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4∵点P在圆x2+y2=16上xMPAyO例2.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?例题：例3、已知
5、点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).(其中tanψ=3/2)∴x2+y2的最大值为14+2，最小值为14-2。(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）∴x+y的最大值为5+，最小值为5-。
6、(3)显然当sin（θ+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。参数方程和普通方程的互化把它化为我们熟悉的普通方程，有cosθ=x-3,sinθ=y;于是(x-3)2+y2=1，轨迹是什么就很清楚了在例1中，由参数方程直接判断点M的轨迹是什么并不方便，一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.把参数方程化为普通方程：例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？解:(1)由得代入得到这是以（1，1）为端点的一条射线；所以把
7、得到(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：（1）消参；（2）求定义域。B例2求参数方程表示（）（A）双曲线的一支,这支过点（1,1/2）;（B）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2）;（C）双曲线的一支,这支过点（–1,1/2);（D）抛物线的一部分,这部分过（–1,1/2).例3求椭圆的参数方程：(1)设为参数；(2)设为参数.为什么两个参数方程合起来才是椭圆的
