垂径定理教学案例.doc

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1、垂径定理(第一课时)教学设计【教学目标】1.知识目标:①通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性;②掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题;③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。2.能力目标:①通过定理探究,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力;②向学生渗透“由特殊到一般,再由一般到特殊”的基本思想方法。3.情感目标:①结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透;②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规

2、。【教学设计】一、实例导入,激疑引趣1.实例:同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文(初二语文第三册第一课·茅以升),其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥(如图)。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县(古称赵州)而得名,是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥,距今已有1400多年历史,被誉为“华北四宝之一”,它的结构是当时世界桥梁界的首创,这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。⌒2.导入:赵州桥的桥拱呈圆弧形的(如图1),它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦AB的距离,也叫弓高)为7.2米。请问:桥拱的半径(即AB所在圆的半径)是多少?通过本节课的学习,我们将能很容易解

3、决这一问题。(图1)二、尝试诱导,发现定理1.复习过渡:①如图2(a),弦AB将⊙O分成几部分?各部分的名称是什么?②如图2(b),将弦AB变成直径,⊙O被分成的两部分各叫什么?E③在图2(b)中,若将⊙O沿直径AB对折,两部分是否重合?(a)(b)(a)(b)(c)(图2)(图3)2.实验验证:让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折,观察两部分是否重合;教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。3.运动变换:①如图3(a),AB、CD是⊙O的两条直径,图中有哪些相等的线段和相等的弧?②如图3(b),当

4、AB⊥CD时,图中又有哪些相等的线段和相等的弧?③如图3(c),当AB向下平移,变成非直径的弦时,图中还有哪些相等的线段和相等的弧?此外,还有其他的相等关系吗?4.提出猜想:根据以上的研究和图3(c),我们可以大胆提出这样的猜想——⌒⌒⌒⌒(板书)5.验证猜想:教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折,这条特殊直径两侧的图形能够完全重合,并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。三、引导探究,证明定理1.引导证明:猜想是否正确,还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。①证明“AE=BE”,可通过连结OA、OB来实现,利用等腰三角形性质证明。②证明“弧相等”,就是要证明它们“能

5、够完全重合”,可利用圆的对称性证明。2.归纳定理:根据上面的证明,请学生自己用文字语文进行归纳,并将其命名为“垂径定理”。垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。3.巩固定理:在下列图形(如图4(a)~(d))中,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的弦,它们是否适用于“垂径定理”?若不适用,说明理由;若适用,能得到什么结论。(a)AB⊥CD于E(b)E是AB中点(c)OC⊥AB于E(d)OE⊥AB于E(图4)向学生强调:(1)定理中的两个条件缺一不可;(2)定理的变式图形。四、例题示范,变式练习1.运用定理进行计算。〖例1〗如图5,在⊙O中,若弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离

6、为3cm,求⊙O的半径。分析:因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”,所以要作辅助线OE⊥AB;因为要求半径,所以还要连结OA。解:(略)学生口述,教师板书。(图5)〖变式一〗在图5中,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=。思考一:若圆的半径为R,一条弦长为a,圆心到弦的距离为d,则R、a、d三者之间的关系式是。〖变式二〗如图6,在⊙O中,半径OC⊥AB,垂足为E,若CE=2cm,AB=8cm,则⊙O的半径=。(图6)思考二:你能解决本课一开始提出的问题吗?(由学生口述方法)2.运用定理进行证明〖例2〗已知:如图7,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证

7、:AC=BD。(图7)分析:①证明两条线段相等,最常用的方法是什么?用这种方法怎样证明?(证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC)②此外,还有更简捷的证明方法吗?若有,又怎样证明?(垂径定理)证法一:连结OA、OB、OC、OD,用“三角形全等”证明。证法二:过点O作OE⊥AB于E,用“垂径定理”证明。(详见课本P77例2)注1:通过两种证明方法的比较,选择最优证法。注2:辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的

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