一阶微分方程的解法.ppt

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1、§9.2.1一阶微分方程一阶微分方程的一般形式.我们只讨论几种特殊形式的一阶微分方程。一、可分离变量的微分方程1、已分离变量的微分方程.为微分方程的通解.分离变量法注：分离变量法的依据是不定积分中积分变量与被积函数变量必须一致。2、可分离变量的微分方程(1)(1)式当g(y)0时，可转化为分离变量形式求解.或(2)(2)式当P(x)0,N(y)0时，可转化为分离变量形式求解.当g(y)=0或P(x)=0或N(y)=0时，要找回奇解。例1求微分方程解分离变量两端积分注1求解过程中左边对数未取绝对值的解释；注2通解结果中常数的形式和结构变化；注3求通解与求解微

2、分方程的区别。(奇解)例2求解微分方程解两端积分通解为解例4求定解问题解这是可分离变量的微分方程，分离变量得例5求微分方程的通解例6求解logistic人口模型解这是可分离变量的初值问题。分离变量得解思考题为所求通解.求解微分方程也是解，是微分方程的奇解。解的微分方程称为一阶齐次方程.作变量代换代入原式可分离变量的方程二、齐次微分方程(可化为分离变量形式)例8求解微分方程例9求解微分方程微分方程的解为解例10求解微分方程解微分方程的解为通解为解解代入原方程原方程的通解为思考题方程是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.三*、可化为齐次的方

3、程(可删)为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义(2)有唯一一组解(h,k).(1)(2)求通解可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.求通解,代回z=ax+by例13例14解代入原方程得分离变量、积分得得原方程的通解方程变为上方程称为一阶线性齐次方程.上方程称为一阶线性非齐次方程.一、一阶线性微分方程的标准形式例如线性的;非线性的.§9.2.2一阶线性微分方程齐次方程的通解为1.线性齐次方程二、一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论:设y=f(x)是解,则积分非齐方程通解形式解法1常数变

4、易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设解为积分得非齐方程通解解法2一阶线性非齐次微分方程的通解(公式法):对应齐次方程通解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。解例3例4例5例6解方法一，该方程不是关于y的一阶线性方程，故将其变形为关于x的一阶线性方程:方法二，凑微分法，原方程变形为:两边积分得:例7如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为解练习求微分方程的通解.伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.四*、伯努利

5、方程解法:经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式解例41)解所求通解为解分离变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解将x看作y的函数，解一阶线性微分方程。思考题求微分方程的通解.思考题解答§9.2.3**一阶微分方程解法拓展例如所以是全微分方程.一、全微分方程1.定义:若一阶微分方程全微分方程或恰当方程的左端是某函数的全微分2.解法:应用曲线积分与路径无关.通解为用直接凑全微分的方法.全微分方程解法1是全微分方程,原方程的通解为例1解法2是全微分方程,原方程的通解为例1是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例2解法1是

6、全微分方程,原方程的通解为例2解法2二、积分因子法定义:问题:如何求方程的积分因子?1.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式可选用的积分因子有解例4则原方程为原方程的通解为可积组合法2.公式法:偏微分方程求解不容易特殊地:解将方程左端重新组合,有原方程的通解为可积组合法例5求微分方程三、一阶微分方程小结解1整理得A公式法:练习1.解2整理得B用曲线积分法:C凑微分法:D不定积分法:原方程的通解为解将方程左端重新组合,有2.求微分方程原方程的通解为**一阶隐式方程