初等数论 1 整除.doc

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1、初等数论（1）----数的整除初等数论又称初等整数论，它的研究对象是整数集。整数是小学就接触的一类数，但是关于数论的问题却是最难解决的。1、整数的离散性：任何两个整数之间的距离至少为，因此有不等式。2、整数的奇偶性：将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m－1的形式.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的

2、和是偶数；（3）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（4）两个整数的和与这两个整数的差有相同的奇偶性；（5）奇数的平方都可表为形式，偶数的平方都可表为或的形式（m∈Z）.（6）任意两个整数的平方和被除余数不可能是.（7）任意两个整数的平方差被除余数不可能是.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.数的整除一、知识点讲解1、设是整数，，若存在整数，使得，则称整除，记为，并称是的一个约数（或因子），而是的倍数。如果不

3、存在上述的整数，则称不整除，记作。补充：关于整除的一些小结论：一个整数被2，3，4，5，7，8，9，11，13等整除的特征.（1）一个整数能被2或5整除的特征是：这个数的末位数字能被2或5整除。（2）一个整数能被3或9整除的特征是：这个数的各位数之和能被3或9整除。（3）一个整数能被4或25整除的特征是：这个数的末两位数能被4或25整除。（4）一个整数能被8或125整除的特征是：这个数的末三位数能被8或125整除。（5）一个整数能被11整除的特征是：这个数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除

4、。（6）一个整数能被7，11，13整除的特征是：这个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被7，11，13整除。（7）个连续自然数中，至少有一个能被整除。（8）个连续自然数的积必能被整除。（的阶乘：）。证明的基本手法是（由定义）将分解为与一个整数之积，这种数的分解常通过在一些代数式分解式中取特殊值而产生。下面的两个分解式用处很多。若是正整数，则（1）；若是正奇数，则（在（1）中用代换）（2）例1、设是正整数，且。证明：，并尝试推广结论。旁白：事实上，由也可以推出，这在我们下一节学习了

5、带余除法就可以给出证明。例2、，。证明：若，则。旁白：形如的数叫做费马数，最早是由费马提出的。我们的例1证明了费马数之间的一种整除性质。后面我们还会遇到费马数，继续学习，研究它们的性质。利用（代数）因式分解证明（数论）整除，体现了代数与数论的联系。以后我们会进一步的学习研究代数与数论的联系。性质1若是整数，，且，则．即整除具有传递性．注1：整除问题中，有时直接证明不易入手，我们可以（尝试着）选择适当的“中间量”，而证明及，由此根据性质1，便导出了结论。这一手法，与不等式证明中的“放缩法”有些类似：为了

6、证明，可先将“放大”至适当的，再（期望）证明。（旁白：与不等式的类比最好是放到高二讲，高一学生还没有系统的学习不等式）性质2若，，…，则有。例2、已知：（均为整数），求证：.例3、证明：若，则。例3、设是奇数，证明：。例4、设是正整数，是正奇数，证明：。（配对原理）类题：设是一个奇数，证明L对于任意正整数，数不能被整除。证明：时，结论显然成立。设，记所说的和为A，则：。由k是正奇数，从而结于每一个，数被整除，故被除得余数为2，从而A不可能被整除（注意）例5、设是整系数多项式，若是整数，证明：。（单项）

7、注2性质2提供了证明的一种基本的想法：我们可尝试着证明更强的（也往往更易于证明的）命题：每个均是的倍数（）。这一命题当然并非一定成立，即使在它不成立时，上述想法仍有一种（常奏效的）变通：将和适当的分组，证明每一组的和均是的倍数。如例2的配对方法就是一种常用的分组方法。性质3若是整数，，则或者，或者。因此，若且，则。注3性质3提供了由整除过渡到不等式的一种基本途径。性质3也可以换成下面的两种说法：（1）若整数，且，则不整除；（2）若，且，则。例6、设整数满足，证明：中至少有一个不被整除。例7、设都是正整

8、数，且被整除。证明：。（本问题要结合性质2，性质3，还要有一点想法，有一定难度）练习题1、试证：为整数时，．2、求证：对于任意正整数，．3、一整数若不能被和整除，则必能被整除．证明 ∵a2+47=（a2-1）+48，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2不能整除a.∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8

9、4k（k+1），即8

10、（a2