初等数论 第一章 整除1-4

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1、《初等数论》教师：何艳10/6/202108:05数论的基本内容按照研究方法的不同，数论可分为初等数论解析数论代数数论几何数论10/6/202108:05参考书目1、南基洙主编《初等数论》；2、柯召、孙琦编著《数论讲义》，高等教育出版社；3、闵嗣鹤、严士健编《初等数论》，高等教育出版社；4、郑克明主编《初等数论》，西南师范大学出版社。10/6/202108:05初等数论第一章整除§1自然数与整数10/6/202108:05归纳原理设S是N的一个子集，满足条件：(ⅰ)1∈S;(ⅱ)如果n∈S，则n+1∈S,那么，S=N.10/6/202108:05定理1数学归纳法设P(n)是关

2、于自然数n的一种性质或命题.如果(ⅰ)当n=1时，P(1)成立；(ⅱ)由P(n)成立必可推出P(n+1)成立，那么，P(n)对所有自然数n成立.10/6/202108:05定理2最小自然数原理设T是N的一个非空子集.那么，必有t0∈T,使对任意的t∈T有t0≤t，即t0是T中的最小自然数.10/6/202108:05定理3最大自然数原理设M是N的非空子集.若M有上界，即存在a∈N,使对任意的m∈M有m≤a,那么必有m0∈M，使对任意的m∈M有m≤m0，即m0是M中的最大自然数。10/6/202108:05定理4第二数学归纳法设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题.如果(ⅰ)

3、当n=1时，P(1)成立；(ⅱ)设n>1.若对所有的自然数m

4、的数称为偶数，不被2整除的称为奇数10/6/202108:05定理1下面的结论成立：(ⅰ)a

5、b(-a)

6、ba

7、(-b)(-a)

8、(-b)

9、a

10、

11、

12、b

13、；(ⅱ)ab，bcac；(ⅲ)ab,ac对任意x、y,有abx+cy,一般地，abi，i=1,2,,kab1x1b2x2bkxk，此处xi（i=1,2,,k）是任意的整数；(ⅳ)abacbc，c是任意的非零整数；(ⅴ)ab且baa=b；(ⅵ)ab，b0

14、a

15、≤

16、b

17、；ab且

18、b

19、<

20、a

21、b=0.10/6/202108:05例1证明：若3

22、n且7

23、n，则21

24、n.例2设a=2t

25、-1.若a

26、2n,则a

27、n.例3设a、b是两个给定的非零整数，且有整数x、y，使得ax+by=1.证明：若a

28、n且b

29、n,则ab

30、n.例4设f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0∈Z[x],其中Z[x]表示全体一元整系数多项式组成的集合.若d

31、b-c,则d

32、f(b)-f(c).10/6/202108:05定义2显然每个非零整数a都有约数1，a，称这四个数为a的显然因数，a的另外的因数称为非显然因数。若整数a0，1，并且只有约数1和a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。10/6/202108:05定理

33、2设A={d1,d2,,dk}是n的所有约数的集合，则B=也是n的所有约数的集合。解由以下三点理由可以证得结论：(ⅰ)A和B的元素个数相同；(ⅱ)若diA，即din，则n，反之亦然；(ⅲ)若didj，则.10/6/202108:05定理3(ⅰ)a>1是合数的充要条件是a=de,11,q是不可约数且d

34、q,则d=q.定理4若a是合数，则必有不可约数p

35、a.10/6/202108:05定理5设整数a≥2,那么a一定可表为素数的乘积(包括a本身是素数)，即a=p1p2ps其中pj（1≤j≤s)是素数.证明当a=2时，结论显然成立。假设对于

36、2≤a≤k，式(1)成立，我们来证明式(1)对于a=k1也成立，若k1是素数，式(1)显成立.如果k1是合数，则存在素数p与整数d，使得k1=pd.由于2≤d≤k，由归纳假定知存在素数q1,q2,,ql，使得d=q1q2ql，从而k1=pq1q2ql.从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数a成立。证毕。10/6/202108:05推论任何大于1的合数a必有一个不超过a1/2的素因数。证明由于a是合数，故存在整数b和c使a＝bc,其中:1