初等数论§1整除

《初等数论§1整除》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础，本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公算术基本定理以及倍数，它们的一些应用。2021/9/181阜阳师范学院数科院中小学数学中的一些数论问题：4.已知:782+8161能被57整除，求证：783+8163也能被57整除。1.狐狸在跑道上跳远，每次跳远150CM从起点开始每隔130CM设一个陷阱，问狐狸跳了几次后掉进井中？2.已知66︱X1998Y，求所有满足条件的六位数X1998Y.3.有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成的多位数，求这个自然数最小为多少？2021/9/182阜阳师范学院数科院5.设n为整

2、数，求证:24∣n(n+2)(5n+1)(5n－1).6.100个正整数之和为101101，则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论。2021/9/183阜阳师范学院数科院§1.1整除的概念带余数除法一、整除的概念相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。注：显然每个非零整数a都有约数1，a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。例1有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成的多位数，求这个自然数最小为多少？123456792021/9/184阜阳师范学院数科院二、整除的性质定理1〔传递性〕定理2定理3例2(1)已知：x和y是整数，13︱(

3、9x+10y)，求证：13︱(4x+3y)；(2)若a,b是整数，且7∣(a+b),7∣(2a－b)，证明:7

4、(5a+2b)。2021/9/185阜阳师范学院数科院三、带余数除法定理4设a与b是两个整数，b>0，则存在唯一的两个整数q和r，使得定义2：（1）式通常写成并称q为a被b除所得的不完全商；r叫做a被b除所得的余数；(2)式称为带余数除法。2021/9/186阜阳师范学院数科院证明：存在性：考虑整数序列则a必在序列的某两项之间，即存在一个整数q，使得唯一性：反证〔略〕定理4设a与b是两个整数，b>0，则存在唯一的两个整数q和r，使得2021/9/187阜阳师范学

5、院数科院例3利用带余数除法，由a,b的值求q,r.如果允许b取负值，则要求思考正确吗？2021/9/188阜阳师范学院数科院证明：由带余除法有2021/9/189阜阳师范学院数科院例5设n为整数，求证：24∣n(n+2)(5n+1)(5n－1).证明：f(n)=n(n+2)(5n+1)(5n－1)=n(n+2)[(n2－1)+24n2]=(n－1)n(n+1)(n+2)+24n3(n+2)∵4!∣(n－1)n(n+1)(n+2),24∣24n3(n+2)∴24∣f(n).练习：对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除。2021/9/1810阜阳师范学院数科院

6、例6已知：782+8161能被57整除，求证：783+8163也能被57整除。证明：783+8163=7(782+8161)－7×8161+8163=7(782+8161)+8161×57∵782+8161和57都能被57整除∴原式得证。2021/9/1811阜阳师范学院数科院习题选讲P4－4设a,b是任意两个整数，证明：存在两个整数s,t，使得并且，当b为奇数时，s,t是唯一的。b为偶数呢？则a必在此序列的某两项之间，2021/9/1812阜阳师范学院数科院存在性得证；下证唯一性.2021/9/1813阜阳师范学院数科院当b为奇数时，②式中的等号不能成立，当b为偶数时,

7、s,t可以不唯一，举例如下：注：该例为简化辗转相除法求最大公约数提供了依据。2021/9/1814阜阳师范学院数科院2021/9/1815阜阳师范学院数科院§1.2最大公因数与辗转相除法一、最大公因数例1已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90.2021/9/1816阜阳师范学院数科院练习：100个正整数之和为101101，则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论。若这100个数互不相同呢？1001定理1：〔有关最大公因数的结论〕注：定理1(3)给出了求最大公因数的

8、方法——辗转相除法.2021/9/1817阜阳师范学院数科院二、辗转相除法定义：设有整数的带余数除法中，每次用余数去除除数，直到余数为0停止，这种运算方法称为辗转相除法。即有(*)或2021/9/1818阜阳师范学院数科院定理2在上面的表达式(*)中，有证明：另一方面，2021/9/1819阜阳师范学院数科院证明：先考虑两个数的情形，一方面，另一方面，由辗转相除法可以得到，对于多个整数的公因数，利用可以证明.2021/9/1820阜阳师范学院数科院例2求下面各组数的最大公因数。解：18591573115732865143014