高中数学第7讲空间向量及其运算东直门栗丽红学生版.docx

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1、第7讲空间向量及其运算1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。;;运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ

2、。（3）三点共线：A、B、C三点共线<=><=>（4）与共线的单位向量为4.空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。（4）空间向量数量积的性质：①。②。③。（5）空间向量数量积运算律：①。②（交换律）。③（分配律）。④不满足乘法结合率：5.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则，，，，。（2）若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐

3、标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。6.空间向量坐标表示：若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）（1）.模长公式：若，，则，（2）夹角公式：。ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ（3）两点间的距离公式：若，，则，或（1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在

4、实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是(　　)．A．0B．1C．2D．3解析　a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案　A2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)．A．2，B．－，C．－3,2D．2,2解析　∵a∥

5、b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或答案　A3．(2014·南充月考)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)．A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断解析　∵＝＋＋，且＋＋＝1.∴P，A，B，C四点共面．答案　B4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)．A．－2B．－C.D．2解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.答案　D5．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为

6、BC中点，则△AMD是(　　)．A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析　∵M为BC中点，∴＝(＋)．∴·＝(＋)·＝·＋·＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．答案　C6.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,设AB→=a,AD→=b,AA'→=c,(1)用a,b,c表示向量A'C→.(2)试求向量a+b+c的模.解析：注意把向量放到对应的平行四边形或三角形中,结合空间向量运算的平行四边形法则与三角形法则求解.(1)在三角形ACA′中,A'C→=AC→-AA'→.在四边形ABCD中AC→=AB→+AD→,又BC→=AD→,故

7、A'C→=AB→+AD→-AA'→=a+b-c.(2)利用向量加法的平行四边形法则,结合正方体性质得a+b+c=AB→+AD→+AA'→=AC→+AA'→=AC'→,故

8、a+b+c

9、=

10、AC'→

11、=3.A1.已知

12、a

13、=1,

14、b

15、=2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　　)A.60°　　　B.30°　　　C.135°　　　D.45°解析:选D.因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b=

16、a

17、2-

18、a

19、·

20、b

21、·cos=1-1·2·cos=0,所以cos=22.因为0°≤≤180°,答案：

22、b>=45°.2.若a,b均为非零向量,则a·b=

23、