空间向量及其运算（精讲）（解析版）.docx

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1、1.1空间向量及其运算（精讲）思维导图常见考法考点一概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量.假命题.故选：D.【一隅三反】1．（2020·全

2、国高二课时练习）在下列命题中：①若向量共线，则所在的直线平行；②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量

3、的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】①若、共线，则、所在的直线平行或重合；所以①错；②因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以②错；③若、、三向量两两共面，因

4、为两平面的关系不确定，因此、、三向量不一定共面；所以③错；④若三向量、、共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以④错.故选：A.考法二空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.故选：B.根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化，一定要看最后是谁来表示。【一隅三反】1．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形中，，且，，则（）A．B．C．D．【答案】

5、C【解析】因为，又因为，所以.故选：C2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】-＝，，∴+（-）．故选C．考点三空间向量的共面问题【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使与，，一定共面的是（）A．B．C．D．

6、【答案】C【解析】对于A选项，由于，所以不能得出共面.对于B选项，由于，所以不能得出共面.对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C与，，一定共面的充要条件是，【一隅三反】1．（2020·全国高二）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．【答案】【解析】P，A，B，C四点共面，且，，解得.故答案为:2．（2020·全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x＝________.【答案】【解析

7、】已知且M，A，B，C四点共面，则，解得x=3．（2019·随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得.故选A4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，．求证：四点E，F，G，H共面【答案】证明见解析【解析】∵；∴；EF//AB，且EF＝

8、k

9、AB；同理HG//DC，且HG＝

10、k

11、DC，AB＝DC；∴EF//HG，且E

12、F＝HG；∴四边形EFGH为平行四边形；∴四点E，F，G，H共面.考点四空间向量的数量积【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.（1）求AC′的长；（如图所示）（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）可得＝＝，＝＝+2（）＝42