高中数学第8讲立体几何中的向量方法东直门栗丽红学生版.docx

《高中数学第8讲立体几何中的向量方法东直门栗丽红学生版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第8讲立体几何中的向量方法一）直线：1、方向向量：把直线上的向量以及与之共线的向量叫做直线的方向向量（1）一条直线上的方向向量有无数个，在方向上有两类，如图：（2）向量的两个属性：方向，大小。2、直线位置关系与其向量位置关系：假设直线的方向向量分别为作图作出：（1）___________（2）_____________（3）的夹角（两直线夹角：两条直线相交所成的较小的角，）思考：与是什么关系，作图观察：由于每一条直线的方向向量在方向上有两类，所以不同的方向向量的选择会导致向量的夹角不同。（4）两异面直线所成的角：可将两直线平移至一点，其夹

2、角为直线所成的角，也可以由方向向量刻画（二）平面：平面的“倾斜度”也可以用直线进行刻画——法线1、法线：如果，则称为平面的法线2、对于一个平面，其法线有无数条。法线间的位置关系为__________3、描述直线的方向可用方向向量刻画，所有法线的方向向量位置关系________4、由此发现：对于一个平面，可用法线的方向向量刻画，我们将其称为法向量，每一个平面有两类法向量5、如何确定平面的法向量：若，则为所确定平面的方向量(三)直线与平面位置关系的向量刻画：设直线的方向向量为，平面的法向量为（1）_______________（2）_____

3、________（3）与的所成角_____________________________(四)平面与平面位置关系的向量刻画：设平面的法向量为（1）两平面平行：__________（2）两平面垂直：________（3）设的二面角为，记为，则与的关系为①②思考：由于选取平面法向量的不同除了以上两种情况，还有什么情形，每种情况中与的关系如何？自己做出总结：二、空间向量可解决的立体几何问题：直线的方向向量，平面的法向量（一）判定类1、线面平行：______________________________2、线面垂直：_____________

4、________________3、面面平行：______________________________4、面面垂直：_____________________________（二）计算类：1、两直线所成角：________________________2、线面角：_______________________________3、二面角：_________________________________4、点到平面距离：___________________________（提示：利用在上的投影长度）重点：直线的方向向量；平面的法向量

5、；线线夹角；线面夹角；二面角。难点：线面夹角；二面角。1．若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是(　　)．A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断解析：　∵a＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b，∴a∥b，∴α∥β.答案：　A2．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．解析：　∵l∥α，∴l的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y，2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y＝.答案：　3．若平面α的法向量

6、为μ，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是(　　)．A．cosθ＝B．cosθ＝C．sinθ＝D．sinθ＝解析：若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝90°－β.答案：　D4．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)．A.B.C.D.解析：　线面角的范围是[0，]．答案：　C5．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角ABDC的大小为(　　)．A.B.C.或D.或

7、解析：　只需搞清二面角的范围是[0，π]．答案：　C6．如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.证明：　如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)∵AP＝2PA1，∴＝2＝，即＝(0，0，2)＝(0，0，)，∴P点坐标为(3，0，)．同理可得Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S

8、(0，4，)．∴＝(－3，2，)＝，∴∥，又∵R∉PQ，∴PQ∥RS.7.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.(1)求证