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1、第8讲 立体几何中的向量方法(二)【高考会这样考】考查用向量方法求异面直线所成的角,直线与平面所成的角、二面角的大小.【复习指导】复习中要掌握空间角的类型及各自的范围,掌握求空间角的向量方法,特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系.基础梳理1.空间的角(1)异面直线所成的角如图,已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
2、①直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;②直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0°的角.(3)二面角的平面角如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则∠AOB叫做二面角的平面角.2.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1、m2,则l1与l2的夹角θ满足cosθ=
3、cos
4、.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m、n,则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ=
5、cos
6、
7、.(3)求二面角的大小①如图①,AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<,>.②如图②③,n1、n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α、β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=cos或-cos.三种成角7(1)异面直线所成的角的范围是;(2)直线与平面所成角的范围是;(3)二面角的范围是[0,π].易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α、β的法向量n1、n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二
8、面角与向量n1、n2的夹角是相等,还是互补,这是利用向量求二面角的难点、易错点.双基自测1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,这条斜线与平面所成的角是( ).A.90°B.30°C.45°D.60°解析 ∵cos〈a,b〉==,又∵〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=60°.答案 D2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为( ).A.45°B.135°C.45°或135
9、°D.90°解析 cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°,其补角为135°,∴两平面所成的二面角为45°或135°.答案 C3.已知向量m、n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量,若cos=-,则l与α所成的角为( ).A.30°B.60°C.120°D.150°解析 设l与α所成的角为θ,则sinθ=
10、cos〈m,n〉
11、=,∴θ=30°.答案 A4.在如图所示的正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹角的余弦值为( ).A.-B.-C.
12、D.解析 如图建立直角坐标系Dxyz,设DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E.则=(-1,1,0),=,若异面直线DE与AC所成的角为θ,cosθ=
13、cos〈,〉
14、=.答案 D5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是________.7解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1)则=(0
15、,-1,1),=(2,0,2),∴·=2,∴cos〈,〉==,∴EF和BC1所成角为60°.答案 60°考向一 求异面直线所成的角【例1】►已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,高AA1=2,求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值;(2)四面体AB1D1C的体积.[审题视点]建立恰当的空间直角坐标系,用向量法求解,注意角的范围.解 (1)如图建立空间直角坐标系A1xyz,由已知条件:B(1,0,2),D(0,1,2),A(0,0,2),B1(1,0,0).则=(-1,1,0)
16、,=(1,0,-2)设异面直线BD与AB1所成角为θ,cosθ=
17、cos〈,〉
18、=.(2)VAB1D1C=VABCDA1B1C1D1-4VCB1C1D1=.异面直线所成角范围是(0°,90°],若异面直线a,b的方向向量为m,n,异面直线a,b所成角为θ,则cosθ=
19、cos〈m,n〉
20、.解题过程是:(1)建系;(2)求点坐标;(3)表示向量;(4)计算.【训练1】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______.解析 如