第8讲 立体几何中的向量方法(二)

《第8讲 立体几何中的向量方法(二)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第8讲　立体几何中的向量方法(二)【高考会这样考】考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小．【复习指导】复习中要掌握空间角的类型及各自的范围，掌握求空间角的向量方法，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系．基础梳理1．空间的角(1)异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

2、①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角．(3)二面角的平面角如图在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．2．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1、m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝

3、cos

4、.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m、n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝

5、cos

6、

7、.(3)求二面角的大小①如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝<，>．②如图②③，n1、n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α、β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos或－cos．三种成角7(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是[0，π]．易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1、n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二

8、面角与向量n1、n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．双基自测1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是(　　)．A．90°B．30°C．45°D．60°解析　∵cos〈a，b〉＝＝，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°.答案　D2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　)．A．45°B．135°C．45°或135

9、°D．90°解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°，∴两平面所成的二面角为45°或135°.答案　C3．已知向量m、n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos＝－，则l与α所成的角为(　　)．A．30°B．60°C．120°D．150°解析　设l与α所成的角为θ，则sinθ＝

10、cos〈m，n〉

11、＝，∴θ＝30°.答案　A4．在如图所示的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为(　　)．A．－B．－C.

12、D.解析　如图建立直角坐标系Dxyz，设DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.则＝(－1,1,0)，＝，若异面直线DE与AC所成的角为θ，cosθ＝

13、cos〈，〉

14、＝.答案　D5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．7解析　建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)则＝(0

15、，－1,1)，＝(2,0,2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成角为60°.答案　60°考向一　求异面直线所成的角【例1】►已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积．[审题视点]建立恰当的空间直角坐标系，用向量法求解，注意角的范围．解　(1)如图建立空间直角坐标系A1xyz，由已知条件：B(1,0,2)，D(0,1,2)，A(0,0,2)，B1(1,0,0)．则＝(－1,1,0)

16、，＝(1,0，－2)设异面直线BD与AB1所成角为θ，cosθ＝

17、cos〈，〉

18、＝.(2)VAB1D1C＝VABCDA1B1C1D1－4VCB1C1D1＝.异面直线所成角范围是(0°，90°]，若异面直线a，b的方向向量为m，n，异面直线a，b所成角为θ，则cosθ＝

19、cos〈m，n〉

20、.解题过程是：(1)建系；(2)求点坐标；(3)表示向量；(4)计算．【训练1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．解析　如