第8讲 立体几何 向量及向量方法

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1、第8讲立体几何向量与向量方法二、空间向量.1、（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.（2）共线向量定理：对空间任意两个向量，∥的充要条件是存在实数（具有唯一性），使；（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在内，则与的关系是平行，记作∥.（4）共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使.⑸空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要条件.（简证：P、A、B、C四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2、空间向量基本定理：

2、如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是△BCD的重心，则向量用即证.3、（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令=(a1,a2,a3),，则；；∥；(用到常用的向量模与向量之间的转化：)②空间两点的距离公式：.9（2）法向量：若向量所在直线垂直

3、于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.（3）向量的应用：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.二、例题分析：1、①若与共线

4、，与共线，则与共线.（×）[当时，不成立]②向量共面即它们所在直线共面.（×）[可能异面]③若∥，则存在小任一实数，使.（×）[与不成立]④若为非零向量，则.（√）[这里用到之积仍为向量]2、（海南宁夏卷理13）已知向量，，且，则=__________.解：由题意3、（四川延考文12）在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（　　）A．　　B．　　C．　　D．解：如图以D为坐标系原点,为单位长，分别为9轴建立坐标系，易见，，所以，选B.（如果连结,用余弦定理解三角形也可以求得答案.）4、设A、B、C、D是空间不共面的

5、四点，且满足·=0，·=0，·=0,则△BCD是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定选B提示：·=0AC⊥AB.同理可得AC⊥AD,AB⊥AD.设AB=a，AC=b，AD=c.则BC=,CD=　,BD=　.∵cos∠BCD=＞0,故∠BCD为锐角.同理∠CBD、∠BDC亦为锐角.则△BCD为锐角三角形.5、如图所示，，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB,且与α所成角是30°.如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离.解析:由AC⊥α,可知AC⊥AB.过D作DD′⊥α,D′为垂足

6、,则∠DBD′=30°,<,>=120°,

7、

8、2=·=(++)2=

9、

10、2+

11、

12、2+

13、

14、2+2·+2·+2·=b2+a2+b2+2b2·cos120°=a2+b2.∴CD=.小结：

15、

16、2=提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可以使线段长度问题转化为两个相等向量的数量积的问题，此题若考虑用常规方法转化到三角形当中求解，较繁锁.6、设⊥,<,>=,<,>=，且

17、

18、=1，

19、

20、=2，

21、

22、=3，（1）求

23、++

24、；（2）求

25、+2-

26、；（3）求-与的夹角.解：⑴

27、++

28、2=2+2+2+2·+2·+2·=1+4+9+0+2×3×+

29、2×2×3×=17+6.∴

30、++

31、=.9⑵

32、+2-

33、=.⑶.注意：向量作为沟通“数”和“形”的桥梁，是利用数学结合解题的一种重要载体．学习者要逐步掌握向量运算的各种几何意义，才能较好的利用效率这一工具来灵活解题．请注意以下的知识技能：（ⅰ）利用来证明线线平行或诸点共线问题；（ⅱ）利用来求证线线垂直；（ⅲ）利用，即=，解决两直线的夹角问题；（ⅳ）利用

34、

35、2=，解决线段长度问题，或利用（其中，，是与同方向的单位向量）,求在上的射影长.7、试用向量方法证明不等式：+＞(a，b，c为正实数).证明:如图，构造三棱锥A—BCD，且

36、每个顶角均为60°，且

37、

38、=a,

39、

40、=b,

41、

42、=c,则==

43、-

44、=

45、

46、,==

47、-

48、=

49、

50、,==

51、-

52、=

53、

54、.在三角形BCD中,

55、

56、+

57、

58、＞

59、

60、,∴+＞.8、如图：已知正三棱柱ABC－A'B'C'的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.(1)求异面直线AB'与BC'的夹角；(2)在直线CC'上求一点N，使得MN⊥A