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1、第3讲 立体几何中的向量方法【高考考情解读】 高考对本节知识的考查以解答题的形式为主，主要从以下三个方面命题：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题.2.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档题.3.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题
2、的新亮点，属中高档问题．1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·
3、v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)，则sinθ＝＝
4、cos〈a，μ〉
5、.(3)面面夹角设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则
6、cosθ
7、＝＝
8、cos〈μ，v〉
9、.提醒 求二面
10、角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．3．求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P到平面α的距离：d＝(其中n为α的法向量，M为α内任一点).考点一 利用向量证明平行与垂直关系例1 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明 方法一 由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设
11、正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)＝，＝(－1,0,0)，∴·＝0,∴⊥.∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵＝(1，－1,1)，＝，＝(1,0,0)，由n1·＝n1·＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵
12、n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.方法二 (1)＝＋＋＝－＋＝(＋)－＋＝－－＋＝－(＋)－＋＝－－.∴向量与向量，共面，又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，∵＝，＝－，∴·＝·＝0，·＝·(－)＝－2＋2＝0.∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.(1)要证明线面平行，只需证明向量与平面BCF的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量与，共面．(2)要证明面面垂直，只
13、要证明这两个平面的法向量互相垂直；也可根据面面垂直的判定定理证明直线OM垂直于平面EFCD，即证OM垂直于平面EFCD内的两条相交直线，从而转化为证明向量与向量、垂直．如图所示，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE.证明 ∵△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，∴AE⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD且平面ABEF∩平面AB
14、CD＝AB，∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，即AD、AB、AE两两垂直，建立如图空间直角坐标系．(1)设AB＝1，则AD＝AE＝1，A(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)，∵FA＝FE，∠AEF＝45°，∴∠AFE＝90°，从而F，＝，＝(0，－1,1)，＝(1,0,0)．于是·＝0＋－＝0，·＝0，∴EF⊥BE，EF⊥BC，∵BE⊂平面BCE，
