第3讲　立体几何中的向量方法.pptx

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1、第3讲　立体几何中的向量方法高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()解析法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.真题感悟图(1)图(2)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC法二如图(2)，设M，N，P分别

2、为AB，BB1，B1C1的中点，则PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1与BC1所成的角是∠MNP或其补角.∵AB＝2，BC＝CC1＝1，答案C2.(2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值.(1)证明由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△AB

3、E≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.设平面EBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，所以可取n＝(0，－1，－1).设平面ECC1的法向量为m＝(x2，y2，z2)，所以可取m＝(1，1，0).1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.考点整合2.直线与直线、直线与平面

4、、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.热点一　利用空间向量证明平行、垂直关系【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD

5、.证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量.又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.所以平面PAD⊥平面PCD.探究提高1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.

6、向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的定理，如在(2)中忽略BE⊄平面PAD而致误.解析建立以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系.令正方体的棱长为3，可得D(0，0，0)，A(0，3，0)，A1(0，3，3)，C1(3，0，3)，D1(0，0，3)，B(3，3，0)，M(1，3，1)，N(3，2，1).答案AC热点二　利用空间向量计算空间角角度1求线面角或异面直线所成的角【例2－1】(2019·浙江卷)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A

7、＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点.(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.(1)证明连接A1E.因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz.(2)解设直线E