2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十直线与平面垂直（一）新人教A版必修2.docx

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1、课时素养评价三十直线与平面垂直(一)(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.如图，AB是☉O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC的四个面中，直角三角形的个数有(　　)A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选A.因为AB是圆O的直径，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形，又因为PA⊥平面ABC，所以△PAC，△PAB是直角三角形.且BC在这个平面内，所以PA⊥BC，因

2、此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，所以BC⊥平面PAC，所以△PBC是直角三角形.从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是4.2.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直【解析】选C.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC=C，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然MA与BD不共面，因此MA与BD的位置关系是垂直但不相交.3

3、.(2019·镇江高一检测)若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等，作SO⊥底面ABCD，垂足为O，所以∠SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角，设AB=a，则SB=a，OB=BD=，所以cos∠SBO===，所以∠SBO=45°，所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45°.4.(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有(　　)A.①B.②C.③D.④【解析

4、】选BD.在①中，AB与CE的夹角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故①不符合；在②中，AB⊥EC，AB⊥CD，所以AB⊥平面CDE，故②符合；在③中，AB与EC的夹角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故③不符合；在④中，AB⊥DE，AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE，故④符合.二、填空题(每小题4分，共8分)5.在三棱锥P-ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影，若点P到△ABC三边的距离相等，则点O是△ABC的________心；若PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等，则点O是△ABC的

5、________心. 【解析】因为点P到△ABC三边的距离相等，所以点O到△ABC三边的距离相等，所以点O是△ABC的内心；PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等，则点O到A，B，C的距离相等，所以点O是△ABC的外心.答案：内　外6.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________. 【解析】如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO，MO，则∠CAO=30°，∠CMO就是CM与α所成的角.设AC=BC=1，则AB=，所以CM=，CO=，

6、所以sin∠CMO==，所以∠CMO=45°.答案：45°【加练·固】　　如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________. 【解析】连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF=1，BE=，则tan∠FEB=.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，且FA=FC.求证AC⊥平面BDEF.【证明】设AC与BD相交于点O，

7、连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC的中点，又FA=FC，所以AC⊥FO，因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF.8.(14分)如图，在四面体A-BCD中，∠BDC=90°，AC=BD=2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=.求证：BD⊥平面ACD.【证明】取CD的中点为G，连接EG，FG.又因为E，F分别为AD，BC的中点，所以FG∥BD，EG∥AC.因为AC=BD=2，则EG=FG=1.因为EF=，所以EF2=EG2+FG2，所以EG⊥FG，所以BD⊥EG.因为∠BDC=9

8、0°，所以BD⊥CD.又EG∩CD=G，所以BD⊥平面ACD.(15分钟·30分)1.(4分)(2019·三明高一检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°，以下能使A1C⊥BC1的是(　　)A.AB=ACB.AA1=ACC.BB1=ABD.CC1=BC【解析】选B.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，即AB⊥AC，又AA1⊥AB，AA1∩AC=A，所以AB