初中数学八年级培优竞赛第14讲 从勾股定理谈起.doc

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1、第14讲从勾股定理谈起到底是什么使我们感到一个解法、一个证明优美呢，那就是各个部分间和谐、对称，恰到好处的平衡。——庞加莱勾股定理揭示了直角三角形三边这间的关系，大约在公元前1100多年前，商高已经证明了普通定义下的勾股定理，国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”.勾股定理是平面几何中一个重要定理,其广泛应用体现在,勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法；运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明直线垂直位置关系的一种有效手段。直角三角形是一类特殊的三角形，有着丰富的性质：两锐角互余（角的关系），勾股定理（边的关系），30°所对的直角边等于斜边的一半（边的关系），这些性质在求线

2、段的长短、证明线段倍分关系，证明线段的平方关系等方面有广泛的应用。例题求解【例1】（1）Rt△ABC三边的长分别是x,x+1和5，则三角形的周长=（第十九届“希望杯”邀请赛试题）(2).已知Rt△ABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上的一点，当AD是∠A的平分线时，则CD=（太原市竞赛题）思路点拨：对于（1）应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手链接一些著名问题都可归结为勾股定理证明。1．斯坦纳定理如图①，若P为△ABC内任意一点，作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F，则AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF22．帕普斯定理

3、（中线公式）如图②，a、b、c是△ABC三边长，ma是△ABC的边BC上的中线,则ma2=（2b2+2c2-a2）【例2】如图：四边形ABCD中，DC∥AB,BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为（）A．B.C.3D.2(呼和浩特市中考试题)思路点拨通过作垂线构造直角三角形【例3】如图P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的度数（天津市竞赛题）思路点拨不可能简单的由角的关系推出∠ACB的度数，解本例的关建是由条件构造出含30°角的直角三角形。【例4】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠MCN=45°（1）如图

4、①，当M、N在AB上时，求证：MN2=AM2+BN2。（2）如图②，将∠MCN绕C点旋转，当M在AB的延长线上时，上述结论是否任然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（天津市中考题）思路点拨MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，须转化为直角三角形，可将△ACM沿直线CM对折，得△DCM，连接DN，只需证DN=BM，∠DMN=90°就可以了，或将△ACM（或△BCM）旋转。有这种培优竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607微信13699~77~1074答案找我要【例5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长数值相等，这样的直角三角形是否

5、存在？若存在，确定它三边的长：若不存在，说明理由。（北京市竞赛题）分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为abc其中c边为斜边，则,于是将存性问题的计论转化为求方程组的解【例6】小明遇到这样一个问题：“如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．”分析时，小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形

6、拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则这个正方形的边长为_______（2）求正方形MNPQ的面积．（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为_______．试题分析：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形的面积为a2；（2）如图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；（3）参照小明的钥匙思路，对问题作同样的等积变形，即可求解问题.学力训练基础夯实1.（1）．图①是我国古代著名

7、的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将这四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（河北省中考题）（2）．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1995年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，在如图所示的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，作