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1、第三章向量一．n维向量的定义：数域F中n个数构成的有序数组。二．n维向量的运算：向量加法，数乘三．线性组合与线性表出四．线性相关与线性无关重要结论与定理：1)单个向量线性无关。2)包含零向量的向量组一定线性相关。（证明）3)一个向量组线性相关,则加上任意多个(有限个)向量后，新向量组仍线性相关。(局部相关,整体相关)（证明）4)若一个向量组线性无关,取出其中任一部分也必定线性无关。(整体无关，局部无关)5)任意n+1个n维向量，必定线性相关。（齐次线性方程组方程个数小于未知量个数时，有非零解）6)一个向量组线性无关，则在相同位置处
2、都增加一个分量，得到的新向量组（称为原向量组的加长组）仍线性无关。（无关组加长组仍无关）7)一个向量组是线性相关，在相同位置去掉分量，得到新的向量组（称为原向量组的缩短组）仍线性相关。（相关组缩短组相关）8)若线性无关，而线性相关，则必可由线性表出，且表示方法唯一。（证明）9)向量组Ⅰ，向量组Ⅱ，Ⅱ中每一个向量都可由Ⅰ表出，则向量组Ⅱ一定线性相关。（个数多的可由少的线性表出，多的一定线性相关）10)若向量组可由线性表出，且线性无关，则。（无关的向量组不能由比它个数少的向量组线性表出）五．向量组的极大无关组与向量组的秩1极大无关组的
3、定义2极大无关组的性质1)一个向量组与它的任一个极大无关组之间可以互相线性表出。2）一个向量组S的任意两个极大无关组S1，S2之间也可互相线性一表出。（S1，S2等价）3）一个向量组任意两个极大无关组所含向量个数必一样多。相关例题例3.1设是一组n维向量，则下列正确的是（）A．若不线性相关，就一定线性无关。B．如果存在个全为零的数，使，则线性无关。C．若向量组线性相关，则可由线性表示。D．向量组线性无关的充要条件是不能由其余n-1个向量线性表出。例3.2n维向量组（）线性无关的充分必要条件是:()A．存在不全为零的数，使B．中任意
4、两个向量都线性无关C．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示D．中任意一个向量都不能用其余向量线性表出例3.3向量组线性相关的充要条件是:()A.中有一零向量B.中任意两个向量的分量成比例C.中有一个向量是其余向量的线性线合D.中任意一个向量都是其余向量的线性组合例3.4n维向量组线性无关的充分条件是:()A.均不是零向量B.中任意两个向量的分量不成比例C.向量的个数D.某向量可以由线性表示,且表示式唯一例3.5已知向量组线性无关,则向量组:()A.,,,线性无关B.,,,线性无关A.,,,线性无关B.,,,线性无关例3.6设有
5、任意两个n维向量组和,若存在两组不全为零的数和,使,则()A.和都线性相关B.和都线性无关C.线性无关D.线性相关例3.7若向量组线性无关,线性相关,则下列结论正确的是()A.必可由线性表出B.必不能由线性表出C.必可由线性表出D.必不能由线性表出例3.8设向量可由向量组线性表出,但不能由向量组Ⅰ线性表出,记向量组Ⅱ,则()A.不能由(Ⅰ)线性表出,也不能由(Ⅱ)线性表出B.不可由(Ⅰ)线性表出,但可由(Ⅱ)线性表出C.可由(Ⅰ)线性表出,也可由(Ⅱ)线性表出D.可由(Ⅰ)线性表出,但不能由(Ⅱ)不线性表出例3.9设n维向量组Ⅰ:
6、()线性无关,则n维列向量组Ⅱ：线性无关的充分必要条件为()A.向量组可由向量组线性表出B.向量组可由向量组线笥表C.向量组与向量线等价D.矩阵与矩阵等价例3.10设向量组线性无关,向量可由线性表出,而向量不能由线性表出,则对于任意常数,必有()A.线性无关B.线性相关C.线性无关D.线性相关例3.11设向量组线性相关,线性无关,问(1)能否由线性表出(2)能否由线性表出?例3.12设,,,问是否可表示成,,的线性组合.例3.13已知,,,问(1)a,b取何值时，不能由线性表出（2）a,b取何值时，能由线性表出例3.14设三阶矩阵
7、,三维向量,且与线性相关,求例3.15设都是n维向量，可由线性表示，但不能由线性表示，证明：可由线性表示.例3.16设线性无关,则是否线性相关?例3.17考虑向量组,,,,(1)求向量组的秩(2)求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.例3.18设,为两个n阶矩阵,证明
