线性代数 内容概要

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1、线性代数内容概要一、行列式计算（一个定义三个性质）定义其中为元素的代数余子式。性质1：任意对换行列式中某两行（列）元素的位置，行列式的值仅仅改变一个符号。性质2：一个数乘行列式等于这个数乘以行列式中任一行（列）上的每一个元素。性质3：将行列式某一行（列）的倍，对应地加到另一行（列）上，行列式的值不变。例1、含0元素的行列式计算选择，用性质生成0元素的计算方法。性质1的推论：，例2、求行列式展开后，的系数。例3、计算例4、计算性质4、12例5、计算二、矩阵运算1加法定义：2数乘矩阵定义3矩阵乘矩阵定义其中4矩阵转置定义（注：）5矩阵的逆阵定义设和都是阶方阵，若（单位阵），则称是的

2、逆阵，记作，也称是的逆阵，记作。（显然）例1、已知，，试给出下列有意义的矩阵乘积运算结果：、、、例2、已知，，计算12定理1若，则例3、设为四阶行列式，，试求、、三、矩阵的初等行变换及其应用：以下三种变换，统称为矩阵的初等行变换：1.任意对换矩阵中两行元素的位置；2.用非零数乘以矩阵中某一行的每一个元素；3.将矩阵中某一行元素的倍，对应地加到另一行上。每一个线性方程组都对应一个矩阵，解线性方程组的方法（加减消元法），放在矩阵中解释就是初等行变换。因此，矩阵与其初等行变换后的矩阵等价。初等行变换及其应用性质1：通过初等行变换，将矩阵化成阶梯型后，矩阵中元素不全为0的行数，便是矩阵

3、的秩。（矩阵秩的定义：若矩阵有一个阶子式，而所有的阶子式都=0或不存在，则称矩阵的秩为，记作）例1、求矩阵的秩。秩的其他性质：若，则；性质2：线性方程组有解的充要条件是，通过初等行变换，将增广矩阵化成阶梯型后，增广矩阵中元素不全为0的行数=系数矩阵中元素不全为0的行数。（书中定理：有解的充要条件是）例2、求下列线性方程组的通解：（用初等行变换，顺便提一下克莱姆法则）例3试问和为何值时，下列线性方程无解、有唯一解、有无穷多解？线性方程组的解的结构：（1）若和都是线性方程组的解，则和都是的解；12（2）若和都是线性方程组的解，则是的解；（3）若是的解，是的解，则是的解。（4）若，，

4、则的基础解系中的向量个数为。性质3：若，则经过初等行变换成。（另一个计算公式是）例4求矩阵的逆阵。例5、已知，，试求性质4：若经过初等行变换化成阶梯型后，出现一行元素全为0，则向量组线性相关，否则线性无关。（线性相关定义：如果存在一组不全为0的数使得，则称向量组线性相关，否则线性无关。）例6判断下列向量组是否线性相关？例7、已知向量组线性无关，是判断下面两组向量是否线性相关？（1）（2）12性质5：若经过初等行变换（未用“对换”）化成阶梯型后，元素不全为0的行，对应的向量，是向量组的最大线性无关组，元素不全为0的行数，是向量组的秩。（书中定义：若向量组满足下列条件：1.线性无关

5、；2.任取，都能够则称是的最大线性无关组，称为向量组的秩。）例8求例6中的向量组的最大无关组和该向量组的秩。四、方阵的特征值与特征向量定义设为方阵，若，则称是矩阵的特征值，为矩阵对应于的特征向量。理解：，而线性方程组有非0解的充要条件是（称为矩阵的特征方程）。通过特征方程，能够得到特征值；通过能够得到对应于特征值的特征向量。例1、求的特征值与特征向量。例2、设是矩阵的特征向量，试求下列矩阵的特征向量：，，，（设可逆）五、矩阵相似变换定义设和都是阶方阵，若存在可逆阵，使得，则称矩阵与相似，称为把相似变换成，为相似变换矩阵。理解：若与相似，则与相似；为把相似变换成，则为把相似变换成

6、；若与相似，则。12性质1设是矩阵的特征值，且各不相同，则这个特征值对应的特征向量线性无关。定理1如果都是阶方阵的特征值，对应的个特征向量线性无关，则。性质2阶实对称矩阵，必存在个线性无关的特征向量。例1试将矩阵相似变换成对角阵，并给出相似变换矩阵。例2判断下列哪个矩阵与对角矩阵相似：（1）（2）（3）（4）（5）一元微积分内容概要一、复合函数与分段函数例1已知，求例2已知，，求，二、极限运算1、如果与都存在，则2、如果，，则例3计算，123、如果，且，。例4计算，4、，例5计算，，5、若为型，或型，可尝试使用若为型，或型，可尝试或若为型，可尝试“通分”若为型，或型，或型，可采

7、用例6计算下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）例7已知，求和三、导数与微分1、导数定义对于，微分公式例1、已知，求2、导数的基本公式，四则运算下的求导法则（都要熟记）3、复合函数求导法12若，则。若，则例2、已知，求例3、已知，求4、参数函数求导法若，则，例4已知，求5、隐函数求导法例5求曲线在点处的切线方程。6、高阶导数求导法例5求下列函数的阶导数：（1）（2）（3）四、导数的应用1、中值定理罗尔定理：若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得。拉格朗日中值定理：若在上连续，在