等差数列前项和(一).doc

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1、等差数列前n项和教学目标1、掌握等差数列的前n项和公式，学会应用公式求和以及简单的实际应用。2、经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的探究方法，学会观察、归纳与反思。3、获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的求学态度，提高代数推理能力。教学重、难点重点：等差数列的前n项和公式及其应用。难点：获得等差数列的前n项和公式的思路过程。教学过程复习旧知：等差数列的定义：通项公式：，推广。重要性质：若则。新知讲解：（一）新课引入：一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？方法：①数一数；

2、（可以，但是如果多层该方法就不可取）②分组求和（插入高斯的故事，高斯算法，首项加末项）；③倒序相加法。【学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101），恩，看来大家都知道高斯算法】钢管数我们可以有第一层加到最后一层，那我们是不是也可以有最后一层加到第一层，这时候我们发现如果我们把这两个式子相加，也就是说如果我还有一堆钢管是倒地放置，则有：（二）新课讲解1、等差数列前n项和公式我们再看这些钢管，发现他的每一层钢管数刚好组成了一列等差数列，而求一共有多少根钢管，就变成了球这个等差数列

3、的前n项的和了，那有上面我们研究的结果，现在有同学们试着回答一下这个的问题。问题：在等差数列中首项，公差，求……+．解：∴，∴，又∵，∴．等差数列的前和的求和公式：.记忆方式：梯形公式是上底加下底乘高除二，这个公式1是首相加末项乘项数除二，此时我们把上底看成首相，下底看成末项，项数为高，这是等差数列的前n项和就是梯形的面积公式了。同时，对于公式2，做辅助线，得到平行四边形和三角形的面积之和。平行四边形面积是底乘高，底为首相，高为项数，这时下底三角形的底为，则梯形的面积公式为公式2n说明：1、对于公式2，我们可以将之化为，当d≠0，

4、是一个常数项为零的二次式。2、在等差数列前项和公式及通项公式中有，，，，五个量，已知其中三个可以求出另外两个。2、等差数列前n项和的基本运算例1（S26）已知等差数列中，（1）、，求。（已知，，利用公式2求的公差，写出前n项和公式，再利用公式2求解）（2）、，求及。（已知，，的值利用公式2求解的项数，再次通项公式求解）（3）、，求。（已知有公式1求的项数n，再由通项公式求解）解：（1）解得，。。（2）整理得：解得（3）由=？教师总结：称为等差数列的三个基本量，是解决数列问题的关键。学生练习：（S261、2）1、一个等差数列首项为0

5、，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为？（公式2）（已知首项0，公差2，项数20，求，公式2.）2、一直等差数列的前n项和为，若，则等于？（公式1）（要求，则，又有等差数列的性质2，得：，此时我们选用公式1，有。）例2（课本P43例1）教师分析：2001年是这个项目开展的第一年，若将每年拖入的资金看成数列的话，此时，可将01年的投入资金500万元设为首项，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元，也就是说，有，符合等差数列的定义，故是等差数列。则题目所要求的未来十年资金的总投入，也就是求。知道，，，求，用公式2。这是应用题，则

6、要先设题。解题完后要作答。解：依题意，从2001年到2010年的每年资金投入可以建立一个等差数列，其中首项，公差。那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为答：从2001年到2010年的资金投入总额为7250万元。例3（课本P44例2）教师分析：由等差数列前n项和的公式，已知，，联立方程组，可解的，。由，（公式2）就可写出等差数列的前n项和的公式了。解：由题意知，，将他们代入公式，得到，解得所以学生练习：（P4513）1、分析：（1）已知求用公式1，代入即可（2）已知，先求n，再由公式1代入即可。3、分析：集合，分析题目，我

7、们发现这是一个奇数项和的问题。等差数列，奇数项仍为等差数列，即已知就可求得答案了。3、等差数列的性质性质1：等差数列，是其前项和，也成等差数列，公差为。例4：P46B2（1）已知等差数列，是其前项和，求证也成等差数列。【教师分析：本题就知道数列前n项和。故我们可以用公式2，三项成等差，一般我们会考虑等差中项，利用。】证明：等差数列，故：，，则，，因为，，故，有。即成等差数列。（2）求证：已知等差数列，是其前项和，成等差数列。（证明方式与例题一致）学生练习：（三维S264）等差数列的前项和为，若，则（等差数列数列前n项和性质1）分析

8、：成等差数列。性质2：等差数列,分别为该数列的所有偶数项之和与所有奇数项之和，（1）若共有项，则（1）若共有项，则。证明：若共有项，则，，。若共有项，则。学生练习（三维S275）（等差数列前n项和性质2）【分析：10项，2n，则，，，。】（三）小结