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1、§2.3等差数列的前项和教学目的：1.掌握等差数列前项和公式及其获取思路;2.会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题;3.能用等差数列的通项公式,性质及前项和公式,性质解决一些有关等差数列的问题;4.过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法;5.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平;6.通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学来源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从
2、生活中发现问题,并用数学知识解决问题.教学重点：1.等差数列前项和公式的理解,推导与应用;2.会用前项和公式,通项公式及性质解决有关等差数列的问题;教学难点：灵活应用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题.教学过程：一、引入新课：1.复习等差数列的相关知识.2.创设情景高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:”过了两分钟,正当大家在:算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说：“”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为;;…所以”这个故事告诉我们:(1)作为数学王子的高斯从小
3、就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.(2)该故事还告诉我们求等差数列前项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法.二、讲解新课：1.数列前项和的定义数列中,成为数列的前项和,记为.2.等差数列的前项和公式1:证明:①②①+②得∵∴由此得等差数列的前项和公式2:用上述公式要求必须具备三个条件但代入公式1即得此公式要求必须已知三个条件(有时比较有用)注:(1)上述两组公式共涉及到五个量.那么通常已知其中三个量,可以求出另外两个,而且方法就是解方程组,这也是解决等差数列问题的
4、策略.(2)当已知首项,末项,项数时,选择公式;当已知首项,公差,项数时,选择公式.3.等差数列前项和公式的函数特点(1)对于等差数列的前项和设,则有.当(即)时,时关于的二次函数(常数项为),那么点在二次函数的图象上,这些点时抛物线上的一群孤立点.(2)若数列的前项和(为常数),则当时,一定是等差数列;当时,不是等差数列,但当时,时是等差数列.4.等差数列前项和的最大值和最小值(1)在等差数列中,若,则必有最大值;若,则必有最小值.(2)的最大(小)值的求发方法1:由,利用二次函数求得.方法2:用邻项变号法来确定.当时,满足的项数
5、,使取得最大值当时,满足的项数,使取得最小值5.等差数列前项和的性质(1)若为数列的前项和,则是等差数列等价于是等差数列(2)等差数列的依次每项之和,组成公差为的等差数列(3)若等差数列的项数为项,则,(这里为中间两项)且若等差数列的项数为项,则,(这里为中间项)且(4)如果等差数列的前项和为,等差数列的前项和为,则三、讲解范例：例1计算:(1)(2)(3)(4)解:略((1)(2)(3)(4))变式题:(1)已知等差数列中,,求.(2)已知等差数列中,,求.(3)求集合中的元素之和.解:略((1)(2)(3))例22000年11月
6、14日,教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为万元.为了保证工程顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加万元.你们从2001年起的未来年内,该市在“校校通”工程中的总投入市多少?解:略(万元)变式题:一个屋顶的某一斜面成等腰梯形,最上面一层铺瓦片块,往下每一层多铺块,斜面上铺了层,共铺瓦片多少块?解:略(块)例3已知一个等差数列的前项和是,前项和是,由此能确定求出其前
7、项和的公式吗?解:略()类型题:设为等差数列的前项和,,求.解:略()例4在等差数列中,共有项,前项和为,后项和为,求中间项的和.解法1:由已知得得所以解法2:由成等差数列得而所以例5一个等差数列前项之和为,前项之和为,求前项之和.解法1:设则从而得所以解法2:设,则由此得所以解法3:设则从而得()所以故解法4:利用成等差数列设其公差为,其前项和为即所以故解法5:所以所以例6已知等差数列的前项和为,求使得最大的序号的值.解:略(介绍两种方法或)变式题:已知(),.问前多少项之和为最大?前多少项之和的绝对值最小?解:(1)(2)当或趋
8、近于时,其和的绝对值最小令即因为,所以当时,前项之和的绝对值最小.类型题:(1)等差数列中,,求该数列的前多少项之和最小.(2)等差数列中,,问取何值时,最大.解:(1)法1利用得又因为,所以所以所以当或时,取最小值.法2由所以当或时
