n维简并理想费米气体的化学势和热容量_孙长勇.pdf

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1、第16卷第5期大学物理Vol.16No.51997年5月COLLEGEPHYSICSMay.1997n维简并理想费米气体的化学势和热容量孙长勇李丽华王继锁(聊城师范学院物理系,山东聊城252059)①s摘要对能谱为ε=ap的n维简并理想费米气作了统一讨论,给出了它的费米能、有限温度下的化学势、内能以及热容量的表达式.关键词简并理想费米气;化学势;热容量分类号O414.2在统计物理学中常把金属自由电子气作为g΢(ε)=n∫2ε2/s…∫dq1dq2…dqndp1理想费米气体的一个典型例子,利用费米统计h∑pi≤ai理论解释电子气的比热问题.但一般讨论

2、仅限dp2…dpn于三维非相对论情况,对于其它维度和能谱的qεn/s=nV(n)cn费米系则很少涉及.文献[1]讨论了低维非相对ha论电子气的化学势,但这也是一种特殊情况.本式中V(n)=∫…∫dq1dq2…dqn为n维粒子文讨论了一般情况下在n维空间中运动的能的活动范围,g为自旋简并因子.故自由粒子态s谱为ε=ap(s=1为极端相对论情况,s=2为密度的普遍表达式为非相对论情况)的简并理想费米气,得到了具有΢(ε)gn-nn-1不同维度和不同能谱费米系的费米能、化学势、D(ε)==nV(n)Cnasεs(1)εhs内能以及热容量的一般表达式.这些

3、量与s、nng-m为了简单,令m=,bm=nV(n)Cnma之间的关系简单明了.一般教材中金属自由电sh子气以及文献[1]的结果都是本文结果的特例.(2)首先给出能谱为ε=aps的n维自由粒子m-1则D(ε)=bmε(3)态密度的普遍表达式.自由粒子能量为s222s/21费米能的一般表达式ε=ap=a(p1+p2+…+p),n2/s绝对零度时的费米分布为2ε即∑pi=i=1a1(ε<μ0)利用n维空间中半径为R的球的体积公式[2]f(ε)=0(ε>μ0)Vnμμn(R)=∫22…∫x1dx2…dxn=CnR,00m-1∑xi≤Rd故粒子数N=∫D(

4、ε)dε=∫bmεdεi00n/2πbmmCn==μ0,由此得费米能(n/2)!m得能量曲面ε内粒子可能的状态数为mN1/mμ0=(4)bm①收稿日期:1995-11-21;修回日期:1996-08-2216大学物理第16卷将式(2)代入式(4)得b2mm+1π2m-1U=μ+(kT)bmmμNhnam1/mNhn(n/2)!s/nm+16μ0=gV(n)Cn=agV(n)·πn/2bmm+1π2kT2=μ1+m(m+1)(9)m+16μ(5)将式(8)代入式(9),用μ0代替括号中的μ,则s这就是能谱为ε=ap的n维理想费米气体费22m+1bmm

5、+1πkT米能的一般表达式.U=μ01-(m-1)m+16μ022πkT2T≠0时化学势的一般表达式·1+m(m+1)6μ0在有限温度下,系统粒子数为取一级近似得∞∞bm-1bm2kT2D(ε)dεmεdεU=μm+1πN=∫β(ε-μ)=∫β(ε-μ)m+101+(m+1)6μ00e+10e+1m在kTμ条件下利用费米积分由式(4)有bm=mN/μ0,代入上式并由m=∞f(ε)dεμπ2n/s,最后得到2I=∫β(ε-μ)=∫f(ε)dε+(kT)220e+106nNnπkTU=μ01++1(10)·f′(μ)+…(6)n+ss6μ0得此即为n维

6、理想费米气内能的一般表达式,故μ2热容量的一般表达式为m-1π2m-2N=bmεdε+(kT)bm(m-1)μ∫06UnNnπ2k2T22CV==+1bmmπkTTVn+ss3μ0=μ1+m(m-1)m6μnπ2kT=·Nk(11)可解出s3μ011可见,热容量与维数n之间是简单的正比关mNmπ2kT2-mμ=1+m(m-1)bm6μ系.这与经典能均分定理是定性一致的.此外,(7)无论维数n和s值是多少,CV恒与绝对温度T展开并用μ0代替第二项中的μ,相当于一级近成正比,这是由粒子本身的统计性质决定的.由似.并注意到式(7)前的系数正是费米能μ0,

7、即于泡利原理的限制,当温度上升时只有在费米式(4),故面(或圆、点)附近kT数量级的薄层内的粒子nπ2kT2才有可能吸收能量而被激发.而这部分粒子数μ=μ01--1(8)s6μ0占的比例为ΔN/N≈kT/μ0,因此热容量与温这就是n维理想费米气化学势的一般表达式.度的正比关系与维度及能谱无关,n、s值只决它与n、s之间是一简单关系.随着温度的升定比例系数.这与玻色气体结果不同,例如在低n高,化学势可能增加,也可能减小或不变,由s温下n维德拜固体的热容量与T成正比;凝n/s和n的值决定.因此化学势随温度的变化行为聚状态的理想玻色气体的CV与T成正比.

8、决定于粒子运动的空间维度和粒子的能谱关因此粒子的统计性质对各种费米气的热容量起系.决定作用,使之有相同的温度变化行为.s利