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第23卷第3期咸宁学院学报Vol.23,No.32003年6月JournalofXianningCollegeJun.2003文章编号:1006-5342(2003)03-0056-03关于理想气体多方过程中摩尔热容量的讨论陈志远,王九云(咸宁学院物理系,湖北咸宁437005)摘要:在推导理想气体多方过程摩尔热容量表达式的过程中,详细分析了摩尔热容量Cm与多方指数n和理想气体分子自由度i的关系,从而深化对理想气体多方过程摩尔热容量的认识.关键词:理想气体;多方过程;摩尔热容量;多方指数;自由度中图分类号:O414.1;O55文献标识码:A1摩尔热容量的表达式并设Cm为常数,且在温度变化不大的范围内Cv教材[1,2]中有关理想气体多方过程摩尔热容[2]和Cp的变化很小(可视为常量),则多方指数n量的表达式,是在已知多方过程方程的条件下,由为常数.于是,(4)式变为:热力学第一定律推导出来的.然而,一般教材中不dpdV+n=0(6)加推导直接从理想气体的绝热过程方程得出多方pV过程方程.因此,对多方过程方程的得来,学生在头积分简化得多方过程的方程:n脑中有些模糊的认识,进而影响到对其摩尔热容的pV=const(n为常数)(7)理解.实际上,多方过程方程可以从理想气体状态上面推导多方过程时得到(5)式,它表示多方方程和热力学第一定律推导出.下面从推导多方过过程摩尔热容量Cm是多方指数n的函数.因此,程的方程中导出其摩尔热容量的表达式.可以由(5)式来求多方过程的摩尔热容量:设理想气体系统在多方过程中的摩尔热容量RCm-Cv-Rn=1-=为Cm,由摩尔热容量的定义可知,若系统的温度升Cm-CvCm-CvMCP高dT时,则系统从外界吸收的热量为CmdT.根因为R=Cp-Cv,=Cv据热力学第一定律有:-n所以Cm=Cv(8)1-nMMCvdT=CmdT-pdV(1)(8)式是多方过程摩尔热容量的一般表达式.以上再由理想气体的状态方程有:推导过程中M为气体质量,为气体摩尔质量,CvM为定容摩尔热容,Cp为定压摩尔热容,n为多方指pdV+Vdp=RdT(2)数,为摩尔热容比.将(2)式代入(1)式消去dT可得:ii+21将Cv=R,=代于(8)式得:(Cv-Cm)(pdV+Vdp)+pdV=0(3)2iRiRCm=R+(9)121-n(3)式两端同除以(Cv-Cm)得:R由(9)式可知,多方过程摩尔热容量Cm与理想气RpdV+Vdp+pdV=0(4)体多方过程的多方指数n和理想气体分子的自由Cv-Cm度i有关.R令=n-1(5)Cv-Cm2摩尔热容量与多方指数n的关系收稿日期:2003-02-24基金项目:教育部世行贷款21世纪初高等教育研究项目 第3期陈志远,王九云关于理想气体多方过程中摩尔热容量的讨论57理想气体多方过程满足(7)式,多方指数n随量放出(!Q<0),|!A|>|!Q|,!u=!Q+具体过程而定,对于确定的过程n为常数.教材中!Q!A>0,!T>0.所以,由C=lim<0,亦可!T∀0!T指出等温、绝热、等压、等容过程分别对应于多方指[1,2]知Cm<0.数取不同数值的多方过程特例,而理想气体的3)0.理想气体某些实际过程用多方过程表示只是一种近似.根据经历的实际过程介于绝热过程和等容过程之间,外多方过程的定义,在气体的状态变化过程中,只要界压缩气体做功(!A>0)同时气体从外界吸热各状态参量满足多方过程,则n取值应是任意的,(!Q>0),温度升高,!u=!Q+!A>0,!T>即n(-,+).下面讨论n(-,+)!Q时,理想气体多方过程的摩尔热容量Cm与多方指0.由C=lim>0,亦可知Cm>0.!T∀0!T数n的关系.以上1)、2)、3)三种情况,当!Q与!A同时(1)当n=0时,(7)式表示等压过程,理想气体反号,结论亦成立.因此,只要知道特殊过程多方指摩尔热容量为Cp,且Cp=Cv,这与n=0代于(8)数n,由(8)式即可求出该过程气体的摩尔热容量.式结果相吻合.同时,由以上讨论及对(8)式变形:(2)当n=1时,(7)式表示等温过程.由热容量-1Cm=Cv(1+)(10)1-n!Q定义C=lim和Cm∀#.把n=1代于(8)!T∀0!T还可以直观地给出多方过程的Cm-n关系曲式,亦有:线[4]如图1所示.-1Cm=Cv()∀#1-1(3)当n=时,(7)式表示绝热过程.由C=!Qlim,!Q=0,所以Cm=0.把n=代入(8)!T∀0!T式也直接可得:-Cm=Cv()=01-(4)当n=#时,(7)式表示等容过程,Cm=Cv.把n=#代入(8)式亦可得:Cm=Cv()=Cv1根据(10)式和图1可知:Cm-n曲线是以n=1和(5)当n<0,01时,对应于理想气体内进行的一般过程.时,对于某种确定的理想气体系统,其摩尔热容Cm1)n<0,以及001-n=1是曲线的一条渐进线,对应Cm=#的等温对应的实际过程是:n<0时,此过程介于等容过程,若系统吸热则Cm=+,系统放热则Cm=过程和等压过程之间;00),体积膨胀对外做功(!A<0),温度数)可方便地从图中得出相应的纵坐标Cm(摩尔热升高.由于|!Q|>|!A|,!u=!Q+!A>0,容量).!Q!T>0.因此,由C=!liTm∀0!T>0,也可知Cm>0.Cm-n曲线的得出,可使学生对多方指数的2)10)[3].这种过程介于绝热过程和等温过程由上面(9)式:Cm=R+21-n之间,外界压缩气体做功(!A>0)部分转化为热其中i=3,5,6∃∃为理想气体分子的自由度数. 58咸宁学院学报第23卷同样也可以直观得出多方过程%Cm-i&关系曲线律及(11)式,可知(9)式的物理意义:在多方无限小如图2所示.过程中,1mol理想气体当温度升高dT时所吸收的i热量为CmdT,其中RdT部分是系统内能的增2R加、dT部分是系统对外界做的功.同时,由1-n(9)式和图2可清楚直观地看出:在相同的多方过程中气体分子自由度i大的理想气体系统,其摩尔热容Cm也大.总之,通过本文的讨论,可使学生对理想气体多方过程中摩尔热容有一个全面深入的理解.假若i可连续变化,则理想气体在某一多方过程的参考文献:摩尔热容Cm与其分子的自由度i成%线性关系&.[1]李椿,章立源,钱尚武.热学[M].北京:高等教R%Cm-i直线&的斜率为常数,与多方过程无关,育出版社,1978.176~177.2因此,不同多方过程的%Cm-i直线&相互平行;而[2]黄淑清,夏宜如,申先甲.热学教程[M].北京:R高等教育出版社,1985.64~77.%Cm-i直线&的延长线在Cm轴上的截距却与1n[3]熊吟涛等.热力学[M].北京:人民教育出版社,多方过程有关.1979.49.在(9)式两侧同乘以温度的微元变化量dT,[4]包科达.普通物理学(热学)[M].北京:北京大得:学出版社,1989.129~134.iRCmdT=RdT+dT(11)[5]杨恩智,王保成,姬国庆.关于理想气体摩尔热21-n容的探讨[J].工科物理,1999,9(4):47~48.i由于dQ=CmdT,dU=RdT,根据热力学第一定2OntheDiscussionofMolarHeatCapacityinthePolytropicProcessofIdealGasCHENZhi-yuan,WANGJiu-yun(DepartmentofPhysics,XianningCollege,Xianning437005,China)Abstract:Inthispaper,theexpressionofmolarheatcapacityinthepolytropicprocessofidealgaswasdeduced,andtherelationbetweenthemolarheatcapacityandpolytropicexponentnandtheidealgasmoleculardegreeoffreedomiwasdiscussedindetail.Itmakesusunderstandthemolarheatcapacitycomprehensively.Keywords:Idealgas;Polytropicprocess;Molarheatcapacity;Polytropicexponent;Moleculardegreeoffreedom
