第9章功平衡法和上限法及其应用

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1、第9章功平衡法和上限法及其应用如前所述，确定金属塑性加工变形力学的理论解是极为困难的，即使比较简单的平面应变问题和轴对称问题也不易办到。于是促使人们寻找各种近似求解方法。近似解法依据其原理分为两类：一类是根据力平衡条件求近似解，如第七章工程法；另一类是根据能量原理求近似解，如本章功平衡法和上限法等。功平衡法是利用塑性变形过程的功平衡原理来求解变形力的近似解；极值原理是根据虚功原理和最大塑性功耗原理，确定物体总位能接近于最低状态下，即物体处于稳定平衡状态下变形力的近似解。§9.1功平衡法功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形力的一种近似方法

2、，又称变形功法。功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物体塑性变形所消耗的应变功（Wd）和接触摩擦功（Wf）之和，即WP=Wd+Wf对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式dWP=dWd+dWf（1）外力所作功的增量dWP设外力P沿其作用方向产生的位移增量为duP，则dWp=P×duP（2）塑性变形功增量dWddWd为变形物体内力所作功增量。当变形物体中某一单元体积为dV，所处主应力状态为、、，相应的主应变增量分别为、、时，则该单元体积的塑性变形功增量为dWd=ddV=(dV根据应力应变增量理论方程可求得、、，考虑

3、到塑性变形时σe=σT代入上式，经整理后得，整个塑性变形体V内所消耗的塑性变形功增量为：228式中，为变形抗力为等效应变增量（3）接触摩擦所消耗功的增量dWf若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为duf，则式中，为摩擦因子。于是由功平衡方程，得总的变形力P为（9-1）由此可见，求解的关键在于能否利用给定的变形条件，求出和。由于塑性变形总是不均匀的，计算是比较困难的，通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变形功法。例1平锤压缩圆柱体（摩擦因子为m）。现以圆柱体压缩为例，说明功平衡法的解题步骤。图9-1平锤压缩圆柱体圆柱体工件的尺寸如图9-1

4、所示，设作用的外力为F，接触面上的摩擦切应力为。在力F的作用下，圆柱体产生一个微小的压缩量dh时，则径向将产生微小位移du。根据均匀变形假设，由轴对称圆柱坐标系的几何方程，可得各方向上的位移增量分别为：dεz=-dh/h（a）228由体积不变条件于是积分后得du=（1/2）ρ（dh/h）+C当ρ=0时，即圆柱体中心轴上，du=0，积分常数C=0，于是径向位移du=（1/2）ρ（dh/h）代入式（a），得径向和周向应变增量为：dεz=-dh/h即等效应变增量下面按式（9-1），计算各项功的消耗，并求变形力圆柱体上下接触面上消耗的摩擦功增量，考虑到dF=

5、2ρdρ及，得：外力所作功为将以上各式代入功平衡方程式（9-1）中，可求得圆柱体压缩时的外力P和单位变形力p分别为：及这一结果与工程法所得结果相同。§9.2极值原理及上限法228极值原理包括上限定理和下限定理，它们都是根据虚功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近似值，故称上限解；下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于（

6、理想情况下才等于）真实载荷，即高低的近似解，故称下限解（见图9-2所示）。由于上限解所确定的载荷是高估的，这对于保证塑性变形过程的顺利进行，有利于选择设备和设计模具，而且设定一个比较接近实际金属流动行为的运动学许可速度场比较易于办到，因为变形区内质点的流动景象直观、形象，也便于通过网格法等直接观察，或用视塑性法等进行测量计算。因此，上限定理在金属塑性加工上得到了广泛应用，不仅用来解平面应变问题和轴对称问题，而且也可以解某些三维问题，如非轴对称型材的挤压、拉拔、轧制与锻压等。此外，还可用于求解高速变形的温度场，以及金属材料的性能与组织关系等，故本章主要

7、叙述上限定理及其应用。虚功原理：稳定平稳状态的变形体中，当给予变形体一几何约束所许可的微小位移（因为该位移只是几何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移）时，则外力在此虚位移上所作的功（称虚功），必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚应变功，其表达式为：（9-2）实际应用常用功率形式表达（9-3）式中，左边为外力所作虚功或虚功率，右边第一项为虚应变功耗或虚应变功率消耗，第二项为接触摩擦与刚性界面上剪切功耗或功率消耗等。（为所在界面上的相对滑动速度），第三项为裂纹形成等的功耗或功率消耗。虚功原理对于弹性变形、弹塑性变形或塑性变形力学问题都是适用的。屈

8、服轨迹切线ds’ijs’ij*Q*RR图9-2上限解、下限解与精确解的比较图9-3最大塑性功耗原理示意图22