第5章 上限法及其应用1.ppt

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1、第5章　上限法及其应用由于复杂的塑性成形问题要求得数学解非常困难，所以需寻求近似的求解的方法，基于虚功原理和变分极值原理的极限分析法或界限法就是其中的一种，极限分析法分为上限法和下限法。下限法计算时，只假设塑变区内的应力状态为静可容应力场，即满足：5.1概述1）平衡微分方程：2）力边界条件：3）不违背屈服准则：因只考虑静而不考虑动，故只满足静而未必满足动，故所求极限总是小于真实载荷，因而称之为下限法。1用上限法计算时，只假设塑变区内的位移状态为动可容速度场，即满足：1）速度边界条件，即在位移边界面上：2）在变形体内保持连续性，不发生重叠和开裂；3）满足体积不变条件，即：或或

2、或因只考虑动而不考虑静，故只满足动而未必满足静，故所求极限总是大于真实载荷，因而称之为上限法。2精确解：在众多的静可容应力场和动可容速度场中，必然有一个应力场和与之相对应的速度场，它们满足全部的静可容和动可容条件，此唯一的应力场和速度场称之为精确解（真实解），由此导出的载荷称为真实载荷。最佳上限解最佳下限解选用上限法的理由：上限解总是大于或等于真实解，以这种高估的近似值选择加工设备和设计成形模具留有裕度，比较安全。另外动可容速度场便于通过实验观察，且计算简单。3虚功原理与基本能量方程式虚功原理可表述如下，在负荷系作用下处于平衡的变形体，若给一微小虚变形，那么由外力所在虚位移

3、上作的功必等于内力在虚应变上所作的功。根据虚功原理，变形体若处于平衡状态，当给物体以微小虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚变形能。表达式是：4下面证明虚功方程：据力边界条件有：则代入前式有：利用奥氏公式：5展开上式：考虑平衡微分方程和几何方程：则有：6上式中以速度、应变速率代位移与应变增量则有虚功率方程：对于刚塑性体，由于应力球张量不做功，上式变为：考虑速度间断层所消耗功：则最后有：7对真实应力场、动可容位移增量场，据虚功和最大散逸功原理有：上限定理：如图有一体积V面积S刚塑性体，体内存在速度间断线。物理意义：在位移边界面上，由动可容位移增量场对应的表面力所做功的增量总是

4、大于或等于真实表面力在真实位移场上所做功的增量。85.2速度间断面及速度特性若塑性区与刚性区之间或相邻的塑性区之间有相对滑动，即速度发生跳跃，称速度间断。产生相对滑动的交界面称速度间断面。据材料的连续和不可压缩性，间断线上法向速度必须相等，否则将发生开裂或重叠，但切向速度可以间断。9速度矢端图在直角坐标系内，将表达塑性变形体内质点运动速度的那些点矢量的相关端点联结起来而形成的曲线称为速度矢端图。１．滑移线与速度矢端曲线之间的关系如右图：正交滑移线对应正交速度曲线。10矩形断面板条平面应变压缩问题11Johnson上限法解题步骤和应用实例1)据金属流动模式（或变形规律）设计动

5、可容速度场。解题步骤：2)由动可容速度场，用几何方程求应变速率场和等效场。3)计算各项上限功率。4)用优化原理确立使总功率消耗为最小的准独立变量。5)求上限解。动可容场模式：1)间断速度场、刚性块模式。2)局部连续、边界间断速度场模式。3)单元模式。12例一：平冲头压入半无限体各块间的剪切功率p•(W/2)·vo=k(OB·ΔvOB+AB·ΔvAB+BC·ΔvBC+AC·ΔvAC+CD·ΔvCD)13若取得仍大于滑移线解5.1414另选变形模式如下图：15例二板条平面应变挤压16