博弈论Lecture2纳什均衡的计算.doc

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1、Lecture3纳什均衡的计算在一个混合策略组合中,与混合策略向量的正概率分量对应的纯策略组合,称为该随机策略的一个支撑(support)。即对于一个随机策略组合,其支撑可以表示为。理论上已经证明,对于一个策略式表述的博弈G={N,Si,ui,iN},设是一个混合策略纳什均衡,如果参与人i的任意两个不同纯策略都具有正的概率,则这两个策略在这个均衡中,一定给他相同的期望支付。根据这一点,理论上可通过猜测的方法,依次考虑可能成为支撑的各种猜测,并对每个猜测尝试求出均衡,从而搜索出G的所有均衡。对于每个参与人i,令Di表示参与人

2、i的策略集Ci的某个非空子集,用以表示对当前参与人i在均衡中具有正概率的那些策略的一种猜测。如果有一个以为支撑的均衡,那么一定存在数组使得方程(3-2)~(3-5)成立:3-23-33-4式(3-2)~(3-4)中,未知数个数和方程的个数相同,因此可能求解出这些方程。除了上面三组条件外,还需要满足3-5此外,如果某个参与人i在Di外有某个纯策略,在与对抗时比Di中的任何一个策略都更好,那么即使上面所有式子都满足也不能成为一个均衡。因此,又必须要求式(3-6)成立3-6满足式(3-2)~(3-6)的解,就是一个纳什均衡。由于

3、一个有限博弈的可能支撑是有限的,如果不考虑非线性方程组的求解障碍,通过有限次的试探,就可以求出所有的纳什均衡。但对于一个复杂的实际问题,求解上述非线性方程组变得非常复杂,对于参与人数超过2,或者纯策略集包含策略的数目较大时,上述方法在实际中往往难于进行。举例考虑下面的博弈,计算纳什均衡LMRT7,22,73,6B2,77,24,51.尝试寻找纯策略纳什均衡如果预计1选择策略T,那么2将选择M,但B将是参与人1对M的最佳反应,故不存在参与人肯定选择T的均衡;如果预计1肯定选择B,那么参与人2将会选择L,但参与人1对L的最佳反

4、应是T,也不存在肯定选择B的均衡。因此,对于参与人1来说,该博弈没有纯策略均衡。同理,可以分析参与人2也没有纯策略意义下的均衡。2.尝试各种纳什均衡策略组合的可能支撑尝试1:支撑{T,B}×{L,M,R},即猜测各参与人对所有纯策略都赋予正概率参与人1能够在T,B之间随机选择,他必须从这两个策略的使用中取得相同的期望支付,因此有为使参与人2乐意在L,M,R中间随机地选择,参与人2必须从这三个策略中得到相同的期望支付,有此外,还需满足两个概率方程,在LINGO下求解该线性方程,可知该方程无解。尝试2可能支撑为{T,B}×{M

5、,R},对于这个支撑,概率方程为为使1在T,B之间无差异,应成立为使2在M与R之间无差异,有这些方程联立,得到唯一解,为但概率不能为负,因此,不存在以{T,B}×{M,R}为支撑的均衡。猜测3:支撑为{T,B}×{L,M}。跟上述过程类似,通过策略的无差异比较以及概率方程,得到最终解为这是一个均衡解吗?我们已经肯定了在这个解中,参与人2对L和M是无差异的,但还没有验证参与人2是否真正地偏好这两个策略,胜于他赋予0概率的策略R。当参与人1以概率.5选择T时,2从策略R所得到的期望支付为6*0.5+5*0.5=5.5,但2从策

6、略L或M得到的期望支付为4.5。因此这不是一个均衡,故不存在以{T,B}×{L,M}为支撑的均衡。猜测4:支撑为{T,B}×{L,R}(根据纳什定理,这个支撑肯定对应纳什纳什均衡)。具体过程从略,得到的解为且通过了各种判断,于是得到纳什均衡策略组合为...

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