导函数中隐零点问题的探究.doc

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1、导函数中隐零点问题的探究作业：1.已知关于x的不等式(x－3)lnx≤2λ有解，求整数λ的最小值．2．已知函数f(x)＝lnx＋x，g(x)＝x·ex－1，求证：f(x)≤g(x)．3.已知函数，设函数在上的极值点为，求证：作业参考答案：1.已知关于x的不等式(x－3)lnx≤2λ有解，求整数λ的最小值．解：令，所以单调递增，，所以存在唯一的，使得当时，，当当时，，所以记函数，则r(x)在上单调递增，所以，即，由2λ≥－，且λ为整数，得λ≥0，所以不等式2λ≥h(x)有解时的λ的最小整数为0.2．已知函数f(x)＝lnx＋x

2、，g(x)＝x·ex－1，求证：f(x)≤g(x)．证明　令F(x)＝f(x)－g(x)＝lnx＋x－xex＋1(x>0)，则3令G(x)＝－ex，可知G(x)在(0，＋∞)上为减函数，且，∴存在，使得G(x0)＝0，即－＝0.当x∈(0，x0)时，G(x)>0，∴F′(x)>0，F(x)为增函数；当x∈(x0，＋∞)时，G(x)<0，∴F′(x)<0，F(x)为减函数．∴F(x)≤F(x0)＝lnx0＋x0－＋1，又∵－＝0，∴＝，即lnx0＝－x0，∴F(x0)＝0，即F(x)≤0，∴f(x)≤g(x)．3.已知函数，设

3、函数在上的极值点为，求证：证明：，+0_单调递增极大值单调递减设，则，令得所以当时，取得极大值，也就是最大值①当时，，存在唯一的，使得，即.当时，，∴在上单调递增；当时，，∴在上单调递减.②当时，，∴在上单调递减.由①②可知，∴在上单调递增，在上单调递减.所以，当时，取得极大值.又∵，即，.3综上，.3