专题提升（） 一次函数与反比例函数的综合.doc

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1、专题提升(六)　一次函数与反比例函数的综合【经典母题】图Z6－1如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为1

2、0≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．图Z6－2　中考变形1答图解：(1)把A(1，2)代入y＝ax，得2＝a，即y＝2x；把A(1，2)代入y＝，得b＝2，即y＝；(2)画草图如答图所示．由图象可知，当x＞1或－1＜x＜0时，正比例函数值大于反比例函数值．2．如图Z6－3，

3、已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内P，Q(4，m)两点，与x轴交于A点．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标；(3)求∠P′AO的正弦值．图Z6－3【解析】①将P点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q点代入反比例函数关系式，即可求出m的值；将P，Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P′的坐标；③过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，可构造出′AD，又∵点A

4、在一次函数的图象上，∴可求出点A坐标，得到OA长度，利用P′点坐标，可以求出P′D，P′A，即可得到∠P′AO的正弦值．解：(1)∵点P在反比例函数的图象上，∴把点P代入y＝，得k2＝4，∴反比例函数的表达式为y＝，∴Q点坐标为(4，1)．把P，Q(4，1)分别代入y＝k1x＋b中，得解得∴一次函数的表达式为y＝－2x＋9；(2)P′；(3)如答图，过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D.∵P′，中考变形2答图∴OD＝，P′D＝8.∵点A在y＝－2x＋9的图象上，∴点A坐标为，即OA＝，∴DA＝5，∴P′A＝＝.∴sin∠P′AD＝＝＝.∴sin∠

5、P′AO＝.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(a，－2)，B两点．(1)求反比例函数表达式和点B的坐标；(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．图Z6－4　　中考变形3答图解：(1)∵点A(a，－2)在正比例函数y＝x图象上，∴－2＝a，∴a＝－4，∴点A坐标为(－4，－2)．又∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝xy＝－4×(－2)＝8，∴反比例函数的表达式为y＝.∵A，B既

6、在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上，∴A，B两点关于原点O中心对称，∴点B的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P坐标为(a＞0)，∵PC∥y轴，点C在直线y＝x上，∴点C的坐标为，∴PC＝＝，∴S△POC＝PC·a＝·a＝＝3，当＝3时，解得a＝＝2，∴P.当＝－3时，解得a＝2，∴P(2，4)．综上所述，符合条件的点P的坐标为，(2，4)．4．如图Z6－5，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)求一次函数的表达式；(3)P是x轴上的一个动点，试确定点P并求出它

7、的坐标，使得PA＋PB最小．图Z6－5解：(1)∵点A(1，4)在函数y＝上，∴m＝xy＝4，∴反比例函数的表达式为y＝；(2)把B(4，n)代入y＝，4＝xy＝4n，得n＝1，∴B(4，1)，∵直线y＝kx＋b经过A，B，∴解得∴一次函数的表达式为y＝－x＋5；(3)点B关于x轴的对称点为B′(4，－1)，设直线AB′的表达式为y＝ax＋q，∴解得∴直线AB′的表达式为y＝－x＋，令y＝0，解得x＝，∴当点P的坐标为时，PA＋PB最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4

8、，2)，与y轴的负半轴交于点B，图Z6－6且OB＝6.(1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式．(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内，求反比例函数y＝的图