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1、80604020B(80,10)\\\0204060804cm)图Z6-1y(cm)专题提升(六)一次函数与反比例函数的综合【经典母题】如图Z6-1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图彖，端点A的纵坐标为80,另一端点B的坐标为3(80,10).求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围.【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式.解：设反比例函数的表达式为y£•A•・・一个端点B的坐标为(80,10),A^=80X10=800,・••反比例函数的表达式为y=型.・・•端点A的纵坐标为80,80
2、=^X无=10,•••点A的横坐标为10,・・・自变量的取值范围为10W/W80・【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y=¥，把已知一点-V代入函数表达式求出£的值即可.【中考变形】1.已知正比例函数y=ax与反比例函数的图象有一个公共点4(1,2).(1)求这两个函数的表达式；(2)在图Z6-2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时兀的取值范围.厂-T101J■■丄■■•d■■■■L-J1■■■图Z6-2中考变形1答图解：(1)扌巴A(l,2)代入y=q,得2=af即y=2x：>2把A(l,2)代入)=;：,得b=2,即y=~;⑵画草图如答图所
3、示.由图象可知，当x>或一1VxVO时，正比例函数值大于反比例函数值.1.如图Z6-3,己知一次函数y=kiX+b与反比例函数的图象交于第一象限内P(｝，",Q(4,加)两点，与兀轴交于4点.(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点P关于原点的对称点P的坐标；(3)求ZPAO的正弦值.图Z6-3【解析】①将P点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式;将0点代入反比例函数关系式，即可求出加的值；将P,Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式.②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P'的坐标；③过点
4、P作PD丄x轴，垂足为D,可构造出fADf又•・•点A在一次函数的图象上，・••可求出点A坐标，得到0A长度，利用P点坐标，可以求出PQ,P‘A,即可得到ZPfAO的正弦值.解：(1)・・・点P在反比例函数的图象上，］代入)‘=¥，得咫=4,・・・把点P岸，84•••反比例函数的表达式为j=-二。点坐标为(4,1).把电，8J,2(4,1)分别代入y=kix+h中，1解得[b=9.8=訥+/?,得2、1=4ki+b,:.一次函数的表达式为y=—2x+9;(2)P(-
5、,-8J；⑶如答图，过点P作PD丄x轴，垂足为D•・・"_町，中考变形2答图/.0D=^,P'D=8.・••点A
6、坐标为甘，0)・・•点A在＞=—2兀+9的图象上，9,即OA=y・・・DA=5,・P'A=IPfD2+DA2=yjS9./•sinZP'AO=P'D88価89•8価89•3・[2017•成都]如图Z6-4,在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=^x与反比例函数的图象交于A(a,-2),B两点.(1)求反比例函数表达式和点B的坐标；(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C,连结PO,若APOC的面积为3,求点P的坐标.图Z6-4中考变形3答图解：(1)丁点A(g,—2)在正比例函数y=^x图象上，—2=空°,ci=—4,・••点A
7、坐标为(一4,一2)・又J点A在反比例函数)，=虫的图象上，X••k=xy=—4X(—2)=8,Q・••反比例函数的表达式为XVA,B既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上，AA,3两点关于原点O中心对称，・••点B的坐标为(4,2);(2)如答图，设点P坐标为(a,%>0),・.・PC〃y轴，点C在直线・・・PC=18刃一方•:Shpoc詁PC・・・・点C的坐标为/一162a1/一162acf—16当J^=3时，解得。=侮=2羽,ta—16.一心当4=~3时，解得d=2,・・・P(2,4).综上所述符合条件的点P的坐标为(2羽，斗勺，(2,4).7774.如图Z6-5,一
8、次函数y=kx+h与反比例函数的图象交于4(1,4),B(4,Ji兀)两点.(1)求反比例函数的表达式；(2)求一次函数的表达式；(3)P是兀轴上的一个动点，试确定点P并求出它的坐标，使得PA+PB最小.J.m=xy=A,・：反比例函数的表达式为歹=一;•/V4(2)扌巴5(4,〃)代入y=—，4=xy=4n,得n=,x・・・B(4,1),•・•直线y=kx+b经过A,B,4=k+bf1=4k+b,解得〕*5,.・.一次函数的表达式为y=—x+5;(3)点B关于兀轴的对称点为B'(4,-1
