专题二 — 几何型问题.doc

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1、专题二——几何型问题第1课时几何证明型命题热点分析全等三角形的判定与性质、特殊四边形的性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质都是中考命题的热点。中考题型解析题型一常见辅助线的添加BAGDCFE例1.（2013重庆巴蜀模拟）如图，点E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，BF⊥DE于点F，交CD边于点G．（1）求证：BG=DE；（2）若F是DE的中点，求∠CFE的度数。【考点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、中垂线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质【分析】（1

2、）利用正方形的性质，找出△BCG与△DCE全等的条件即可（2）由BF⊥DE且F是DE的中点，构造中垂线BF；利用等腰三角形三线合一的性质，得出∠2=22.5°；最后利用直角三角形斜边上的中线性质，得出∠CFE=2∠2【答案】证明：（1）∵正方形ABCD∴BC=CD……①，∠BCD=∠DCE=90°……②又∵BF⊥DE且∠BGC=∠DGF∴∠1=∠2……③由①②③得：△BCG≌△DCE∴BG=DE（2）连接BD∵正方形ABCD∴∠DBE=45°∵F是DE的中点且BF⊥DE∴BF垂直平分DE∴BD=BE∴∠1=∠DBE=22.5°∴∠2=∠1=22.5°∵Rt△DCE且F是斜

3、边DE上的中点∴CF=DF∴∠DCE=∠2=22.5°∴∠CFE=∠DCE+∠2=45°点评：遇到线段的垂直平分线时，考虑构造线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离。AEDCBF例2.(2013重庆巴蜀模拟)已知：如图，在中，,点E、点F分别在AB、BD上，且满足AD=AE=DF,连接DE、AF、EF(1)若，求的度数.(2)若，求证：.【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质【分析】17（1）利用平行四边形和等腰三角形的性质易得答案（2）利用等腰三角形三线合一的性质添加辅助线，构造出DE的一半DG。再根据全等三角形，证明DG=EF即可。【答案

4、】证明：（1）∵AD⊥BD∴∠ADB=90°∴∠ADC=∵∴∠DAB=∵∠ADB=90°且AD=DF∴∠DAF=45°∴∠EAF=∠DAB-∠DAF=25°（2）过点A作AG⊥DE于点G∵AD=AE且AG⊥DE∴DE=2DG∵AD⊥DB且AG⊥DE∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°∴∠1=∠3……①∵AG⊥DE，DE⊥EF∴∠AGD=∠DEF=90°……②又∵AD=DF……③∴由①②③得：△ADG≌△DFG∴DG=EF∴DE=2EF点评：本题考查等腰三角形三线合一的性质，遇到等腰三角形时通常考虑作出底边上的高线解决问题。例3.（2013重庆南开模拟）已知：如图，在中

5、，，分别以AB、AC为边，向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连续EF，EC，延长BA交EF于H.(1)若，求BC的长；(2)求证：.【考点】三角函数的定义，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质【分析】（1）利用正切函数的定义，设未知数列方程求解（2）利用EA⊥AC且EA=AC，构造出全等的直角三角形，转移BC边；再利用相似三角形解决问题。【答案】解：（1）∵tan∠ACB=∴设AB=，BC=∴∴∴BC=6证明：（2）过点E作FA的延长线的垂线，交于点M∵正方形ACDE∴EA=AC……①，∠EAC=90°∴∠EAM+∠MAC=90°又∵∠EAM+

6、∠AEM=90°∴∠MAC=∠AEM∵正方形ABFG∴FA∥BC∴∠MAC=∠ACB∴∠AEM=∠ACB……②又∵∠EMA=∠ABC=90°……③∴由①②③得：△EAM≌△CAB∴BC=EM，AM=AB17∵正方形ABFG∴HA⊥AF，AB=AF∴AF=AM∵HA⊥AF且EM⊥AF∴EM∥AH∴△AFH∽△MFE∴EM=2AH所以BC=2AH点评：如果两条相等的线段相互垂直，可利用这个特点构造出全等的直角三角形。题型二截长补短法例4.(2013重庆西大附中模拟)如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G（1）若AB=

7、8，BF=16，求CE的长；（2）求证：AE=BE+DG．【考点】正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质【分析】（1）易证△AEF是等腰三角形；由条件，设出未知数，利用勾股定理列出方程求解；（2）先补短，构造出BE+DG，再利用等角对等边，证明出结论.【答案】解(1)∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠B=90°，AD∥BC，AB∥CD∴∠DAF=∠F∵AF平分∠DAE∴∠DAF=∠FAC∴∠F=∠FAC∴EF=AE∵AB=8，BF=16∴AB=BC=CF=8设EC=，则EF=AE=，BE=在Rt△ABE中，，解得