4.3 dft和fft的应用

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1、§4.3DFT和FFT的应用一、计算两个有限离散实数序列的DFT二、计算有限离散序列的频谱三、计算有限离散序列的(线性)卷积一、计算两个有限离散实数序列的DFT问题设和是两个长度均为N的有限离散实数序列,求它们所对应的DFT：和方法(1)令得到有限离散复数序列(2)求序列的DFT，得到(3)由求得和可见，只需计算一次DFT，即可同时得到两个离散实数序列的DFT，从而节省一半的计算时间。理由(1)由于和是离散实数序列，根据DFT的共轭对称性质，(2)由于(A)(B)(3)由(A)(B)两式即得、一、计算两个有限离散实数序列的DFT有因此有二、计算有限离散序列的频谱问题设是长度为N的有限离散序

2、列，求它的频谱。1.问题与要求回顾(1)已知序列的频谱是以1为周期的连续函数(2)序列的DFT的结果仅仅是在区间上的N个等分点的值。要求上的足够密的等分点的值。利用DFT求出在区间N等分二、计算有限离散序列的频谱2.方法及原理方法(1)对于任意给定正整数将序列用零扩充至长度为(通常取为2的幂),等分(2)对序列做DFT，得则有可见,对序列用零扩充后,再做DFT，其结果是使等分点加密。即得二、计算有限离散序列的频谱2.方法及原理理由将序列用零扩充至长度为后，得到序列(2)其频谱为其频谱为(1)对于长度为N的有限离散序列，三、计算离散序列的(线性)卷积1.问题与分析回顾若Fourier正变换令

3、则根据离散序列的卷积定理有对于两个长度为N的有限离散序列和Fourier正变换(连续频谱)(线性卷积)Fourier逆变换求三、计算离散序列的(线性)卷积1.问题与分析设想对于两个长度为N的有限离散序列和若DFTDFT(连续频谱和分别对应的N个离散值)令IDFT求问题?是否(线性卷积)问题?是否(线性卷积)三、计算离散序列的(线性)卷积1.问题与分析分析(交换次序)三、计算离散序列的(线性)卷积1.问题与分析分析周期延拓，其它。其中问题?是否(线性卷积)三、计算离散序列的(线性)卷积2.周期卷积与卷积定理周期延拓，其它，定义设和是两个长度均为N的有限离散序列,称为序列和的周期卷积，周期延拓

4、，其它，令周期卷积又称为循环卷积或圆周卷积。记为周期卷积同样满足交换律、结合律和分配率。三、计算离散序列的(线性)卷积2.周期卷积与卷积定理DFT若定理DFTDFT则周期卷积也是以N为周期的序列。注(1)(2)若有限离散序列和的长度分别为和,且则是指：先将序列和分别用零元素扩充至长度M后周期延拓，再做周期卷积。方法一在线上进行操作解。求周期卷积其它已知有限离散序列和分别为：例0其它0其它周期延拓方法二在表上进行操作。解已知有限离散序列和分别为：求周期卷积其它例0其它0其它周期延拓。方法三在圆上进行操作解已知有限离散序列和分别为：求周期卷积其它例0其它0其它周期延拓解(1)其它周期延拓;已知

5、有限离散序列和分别为：(1)求周期卷积其它例0其它0;(2)求周期卷积.(3)求线性卷积(2)解其它周期延拓;已知有限离散序列和分别为：(1)求周期卷积其它例0其它0;(2)求周期卷积.(3)求线性卷积(3)解其它0;已知有限离散序列和分别为：(1)求周期卷积其它例0其它0;(2)求周期卷积.(3)求线性卷积三、计算离散序列的(线性)卷积3.周期卷积与线性卷积的关系定理设有限离散序列和的长度分别为和,令，(周期卷积)，(线性卷积)则证明(略)图示三、计算离散序列的(线性)卷积4.利用FFT计算线性卷积已知有限离散序列和的长度分别为和。步骤(1)求m，使(2)令三、计算离散序列的(线性)卷积

6、4.利用FFT计算线性卷积已知有限离散序列和的长度分别为和。步骤(3)计算DFT(FFT)DFT(FFT)(4)求(5)则线性卷积其它。IDFT(IFFT)计算休息一下……