用matlab实现DFT FFT

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1、用matlab实现DFTFFT目录实验目的2实验内容21.用MATLAB实现DFT22.用MATLAB实现FFT，分析有限离散序列的FFT33.通过分别计算时间，得出DFT与FFT的算法差异7实验原理71.离散傅里叶变换的快速算法FFT72.FFT提高运算速度的原理83.理论分析DFT与FFT算法差异10实验步骤11实验结果11实验分析19实验结论24实验体会2426实验目的1.通过研究DFT,FFT性质，用语言实现DFT,FFT。不使用MATLAB现有的FFT函数，自己编写具体算法。2.掌握FFT基2时间抽选法，理解其提高减少乘法运算次数提高运算速度的原理。3.设计实验，得出DFT和FF

2、T算法差异的证明，如复杂度等(精度、不同长度的序列等）。实验内容1.用MATLAB实现DFTN点序列x(n)的DFT为：Xk=n=0N-1xnWNnk0≤k≤N-1DFT的矩阵为：根据DFT公式与矩阵展开，通过MATLAB实现DFT：262.用Matlab实现FFT编程思想及程序框图：l原位计算因为DIT-FFT与DIF-FFT的算法类似，这里我们以DIT-FFT为例。N=2M点的FFT共进行M级运算，且每一级都由N/2个蝶形运算组成，后一级的节点数据由前一级同处一条水平线位置的节点数据产生，所以我们同样可以将后一级的节点数据储存到前一级的节点中，这样的方法叫做原位计算，它大大节省了内存资

3、源，降低了成本，简化了运算。l序列的倒序无论是进行DIT-FFT还是DIF-FFT都需要进行倒序，包括输入倒序与输出倒序，以一定的方式将数组进行重新排列。倒序的方法：首先由于N=2M,我们就可以用M位二进制数来表示节点的顺序，并且按照奇偶时域抽取。然后，如图1所示，第一次按最低位n0的0、1值分解为奇偶组，第二次按次低位n1的0、1值分解为奇偶组，以此类推。最后，所得二进制数所对应的十进制数即为序列倒序后产生的序列。图1序列倒序过程倒序的MATLAB方法：用雷德算法可以对输入信号序列进行倒序重排，流程图如下所示：26l蝴蝶因子的变化规律在DIT-FFT中，每一级都由N/2个蝶形运算构成，每

4、个蝶形运算包含一个蝴蝶因子，每一级的蝶形因子又有一定的变化规律：设L表示自左而右的运算级次（L=1,2,3,…,M），序数R，次数K。每个蝶形运算的两个输入量相距B=2^(L-1)个点。假设N=8，则M=3，这时有：L=1时，B=1，S=N/2，R=0，K=1:N/2则有P=(K-1)*1，所以WNP=WNJ，J=0,1,2,3L=2时，B=2，S=N/4，R=0:N/2:N-1，K=1:N/4则有P=(K-1)*2，所以WNP=WN/2J，J=0,2L=3时，B=4，S=N/8，R=0:N/4:N-1，K=1:N/8则有P=(K-1)*4，所以WNP=WN/4J，J=026所以对于一般情

5、况N=2M，第L级的旋转因子为P=(K-1)*B。从而得到DIT-FFT的Matlab流程图：26DIT-FFT的MATLAB实现为（以对x(n)=cos(nπ6)进行16点的变化为例）：263.通过分别计算时间，得出DFT与FFT的算法差异：法一：对N=512，1024，2048和4096点的离散时间信号x(n)，用Matlab语言编程分别以DFT和FFT计算N个频率样值X(k)，比较两者所用时间的大小。设x(n)=cos(nπ6)。利用TIC,TOC函数，分别跟踪变换时间。法二：利用clock返回当前日期向量的时间，通过etime（）函数返回走过的日期向量的时间。用MATLAB实现如下

6、：实验原理1.离散傅里叶变换的快速算法FFTN点序列x(n)的DFT为：Xk=n=0N-1xnWNnk0≤k≤N-1（1）由于系数WNnk=e-j2πNnk是一个周期函数：WNn(N-k)=WNk(N-n)=WN-nk（2）且是对称的：26WNnk+N/2=-WNnk（3）快速傅里叶变换算法正是基于这样的基本思想而发展起来的，它的算法基本可以分称两大类：时间抽取法（DIT-FFT）和频率抽取（DIF-FFT）。由于DIF-FFT算法思想基本一致，只是划分方式略有差异，所以这里以DIT-FFT算法为例进行说明。当N是2的整数次方时，称为基2的FFT算法。首先将序列x(n)分解为两组，偶数项为

7、一组，奇数项为一组：x2r=x1(r)x2r+1=x2(r)r=0,1,…，N2-1(4)将x1(r)和x2(r)分别进行N/2点的DFT得X1(k)和X2(k)，且：Xk=X1k+WNkX2(k)XN2+k=X1k-WNkX2(k)r=0,1,…，N2-1(5)重复这一过程，可得到x（n）的FFT。2.FFT提高运算速度的原理FFT算法将长序列的DFT分解为短序列的DFT。N点的DFT先分解为2个N/2点的DFT，每个