dft以及fft概念详解

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1、第二章离散傅里叶变换及其快速算法1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式，但是他未能给出所需的加权系数。Jean-Baptiste-JosephFourier于1768年3月出生在法国的Auxerre，当他8岁时不幸成了一名孤儿。Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学界出名。1798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的数学家和科学家，Fourier就是其中的一位，回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官

2、，就是在此期间，Fourier完成了其经典之作Theorieanalytiquedelachaleur(热能数学原理)。在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。Fourier离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算

3、机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。§2.1离散傅里叶变换（DFT）为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。§2.1.1离散傅里叶级数（DFS）一个周期为N的周期序列，即，k为任意整数，N为周期周期序列不能进行Z变换，因为其在n=-到+都周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。周期为N的正弦序列其基频成分为

4、：K次谐波序列为：但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，即因此将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，利用正弦序列的周期性可求解系数将上式两边乘以，并对一个周期求和k=r,N=8k≠r,N=8上式中[]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有或写为1)可求N次谐波的系数2）也是一个由N个独立谐波分量组成的傅里叶级数3）为周期序列，周期为N。时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。是一个

5、周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为习惯上：记DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。则DFS变换对可写为DFS[·]——离散傅里叶级数变换IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。假设都是周期为N的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：1）线性a,b为任意常数DFS的几个主要特性：证:因为及都是以N为周期的函数，所以有2）序列移位由于与对

6、称的特点，同样可证明证:同理:对于复序列其共轭序列满足3）共轭对称性进一步可得共轭偶对称分量共轭奇对称分量4）周期卷积若则或周期卷积周期为5~x(n)~h(n)nn周期卷积~x(k)~h(0-k)k~y(0)n周期卷积~x(k)~h(1-k)k~y(1)n周期卷积~x(k)~h(2-k)k~y(2)n周期卷积~x(k)~h(3-k)k~y(3)n周期卷积~x(k)~h(4-k)k~y(4)n周期卷积~y(n)n先计算主值区间，再周期延拓，求得最终的周期卷积的结果，如下图所示。证：这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只

7、限于一个周期内（即m=0~N-1），称为周期卷积。例：、，周期为N=7,宽度分别为4和3，求周期卷积。结果仍为周期序列，周期为N=7。由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式，若则§2.1.2离散傅里叶变换（DFT）我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N，为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系：周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列，定义其第一个周期n=0~N-1，为的“主值区间”，

8、主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示：RN(n)为矩形序列。符号((n))N是余数运算表达式，表示n对