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《2011高考数学 必备之精选数学压轴题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2011高考必备之_精选数学压轴题1.（海淀区高三年级第一学期期末练习）给定项数为的数列，其中.若存在一个正整数，若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列是“k阶可重复数列”，例如数列因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.（Ⅰ）分别判断下列数列①②是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列
2、是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.解：（Ⅰ）记数列①为，因为与按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;记数列②为，因为、、、、、没有完全相同的，所以不是“5阶可重复数列”.……………….3分（Ⅱ）因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形.若m＝11，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”；若m＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则时，
3、均存在不是“3阶可重复数列”的数列.所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11.……………….8分（III）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列的末项后再添加一项，则存在，16用心爱心专心使得与按次序对应相等，或与按次序对应相等，如果与不能按次序对应相等，那么必有，，使得、与按次序对应相等.此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列是“5阶可重复数列”，这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾！所以与按
4、次序对应相等，从而……………….14分2.(湖北省武汉地区重点大学附中六校第一次联考)设函数，其中为正整数.（Ⅰ）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.2.解：（1）在上均为单调递增的函数.……1分对于函数，设，则，，函数在上单调递增.……3分（2）原式左边16用心爱心专心.……5分又原式右边..……6分（3）当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为.当时，，函数的最大、最小值均为1.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.当
5、时，函数在上单调递减，的最大值为，最小值为.……9分下面讨论正整数的情形：当为奇数时，对任意且，以及，，从而.在上为单调递增，则的最大值为，最小值为.……11分16用心爱心专心当为偶数时，一方面有.另一方面，由于对任意正整数，有，.函数的最大值为，最小值为.综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.当为偶数时，函数的最大值为，最小值为.……13分3.（绵阳市高中2010级第二次诊断性考试）设数列{an}的各项均为正数，它的前n项和为Sn（n∈N*），已知点(an，4Sn)在函数f (x)=x2+2x+
6、1的图象上．（1）证明{an}是等差数列，并求an；（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：＋≥；（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由3.解：（1）∵，∴(n≥2)．两式相减得．整理得，∵，∴（常数）．∴{an}是以2为公差的等差数列．又，即，解得，∴an=1+(n-1)×2=2n-1．………………………………………………………4分（2）由（1）知，∴Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．16用心爱心专心由≥≥=0，即≥．……
7、…………………………………………………………7分（3）结论成立，证明如下：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则，∵，把代入上式化简得=≥0，∴Sm+Sp≥2Sk．又=≤，∴≥．故原不等式得证．………………………………………………………………14分4.(湖北省黄冈中学2010届高三10月份月考)已知数列中，，且。(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)令，数列的前项和为，试比较与的大小；16用心爱心专心(Ⅲ)令，数列的前项和为．求证：对任意，都有．解：(Ⅰ)由题知，，由累加法，当时，代入，得时，又，故．．．．．
8、．．．．．．．．．．．．4分（II）时，．方法1：当时，；当时，；当时，．猜想当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分下面用数学归纳法证明：①当时，由上可知成立；②假设时，上式成立，即.当时，左边，所以当时成立．由①②可知当时,．综上所述：当时,；当时,；当时,．．．．．．．．．．．．．．．．10分方法2：记函数16用心爱心专心所以．．．．．．．．．6分则所以．由于，此时；，此时；，此时；由于，，故时，，此时
