坐标系与参数方程高考冲刺(文理科专用).doc

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1、坐标系与参数方程要点一：向量的有关概念1．极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2．极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。3.极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.4.直线的极坐标方程：过极点倾斜角

2、为的直线：或写成及.5.圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：.（2）若，，以为直径的圆：要点二：参数方程1.概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。要点三：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定

3、点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：（为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2．圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。（2）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3.椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途

4、径。4.双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。5.抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。典例解析类型一、极坐标方程的综合应用例1（2016兰州模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长

5、AB

6、的取值范围．【思路点拨】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程.（Ⅱ

7、）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则

8、AB

9、=

10、t1﹣t2

11、，化为关于α的三角函数求解．【解析】（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴

12、AB

13、=

14、t1﹣t2

15、==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤

16、AB

17、＜2．即弦长

18、

19、AB

20、的取值范围是[2，2）【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．举一反三：【变式1】在极坐标系中，，，则△AOB的面积是________。【答案】，∴。【变式2】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是（）A．2B．C．1D．【答案】D法一:在极坐标系中，两圆的圆心坐标分别为与,由此求得圆心距为.法二:将极坐标方程化成直角坐标方程x2+y2=x和x2+y2=y，它们的圆心分别是，，由此求得圆心距为.类型二参数方程的应用例2.已知实数x,y满足,求:（1）x2+y2的最大值；（

21、2）x+y的最小值.【思路点拨】充分利用圆的参数方程【解析】原方程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆.用参数方程表示为:（为参数，0≤＜2）.（1）∴当，即时，(x2+y2)max=16.（2）∴当，即时，.【总结升华】利用圆的参数方程求最值，一般来说都是先把所求的量表示成关于参数的函数，然后利用三角函数的有界性或者函数的性质求最值。举一反三：【变式1】已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）设圆的参数方程为，（2）【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.【答案】已知圆方程为，设其参数方程为（）则

22、圆上的点到直线的距离为，即，∴或又，∴，从而满足要求