几何证明题集.doc

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1、第一章　空间图形的基本性质1一、预备知识11.1　空间图形的定义11.2　平面的基本性质11.3　移动与不变量2解题示例4二、直线和直线的位置关系121.4　直线和直线的相关位置121.5　平行直线131.6　相交直线131.7　异面直线141.8　直线对的参数15解题示例16三、直线和平面的位置关系241.9　直线和平面的相关位置241.10　平行的直线和平面241.11　直线和平面平行的几个基本问题25第一章　空间图形的基本性质一、预备知识1.1　空间图形的定义平面几何的研究对象是在一个平面上的平面图形。而立体几何的研究对象是空间内立体图形，这种图形也叫做空间图形。因此立体几何也叫做空间几

2、何。平面几何是立体几何的一部分。什么是空间图形呢？在几何里对所有研究对象只能在给出它的定义之后才能讨论。因此在研究立体几何开始，必须首先给出空间图形的定义。作为定义基础的不加定义的原始概念，叫做基本概念。在立体几何里，作为基本概念常采用点、直线、平面，这三种基本概念也叫做基本对象。这些基本对象之间有某种关系，常叙述为“在……上”、“通过”、“相交”等等，这些关系不加以定义，看作基本概念，叫做基本关系。一般数学概念“集合”，也就是任意个对象的总体，也是基本概念。有了上述一些基本概念就可给出空间图形的定义。空间里具有某种基本关系的点、直线、平面或其部分的集合，叫做空间图形。由于点、直线、平面都是不

3、加以定义的，所以空间图形也是实际物体的一种非常抽象的形式，因而使立体几何的研究内容更为丰富。立体几何已成为在生产实践、科学试验中应用最为广泛的一种基础理论学科。1.2　平面的基本性质研究空间图形的性质，同平面几何一样，也是依据几何公理作为基础的。研究空间图形的性质，又必须充分应用平面图形的性质。因此，在立体几何里首先要讨论关于平面基本性质的四条公理。公理1　如果一条直线上的两点在一个平面上，那么这条直线上的所有点都在这个平面上。公理2　如果两个平面相交于一点，那么它们交于通过这个点的一条直线。公理3　通过不在同一直线上的三点，存在且只存在一个平面。公理4　不在已知平面上，至少有一个点。上面叙述

4、的四条公理，是讨论空间图形性质的基础。公理1，是描述平面的基本性质，公理2是描述两平面相交的关系，公理3是确定一个平面的根据，公理4指出空间四点不一定在同一平面上。除这些公理外，在立体几何里，对于空间任意平面上的几何图形，平面几何的公理、定义、定理仍然成立。这里着重指出：空间的两条直线，如果在同一平面上，但不相交，现在仍然叫做平行线。平行公理　通过直线外一点，只有一条直线和已知直线平行。从以上的公理，可以得出下面推论：推论1　通过直线和不在它上面的一点，存在唯一平面。事实上，在直线l上取两点A、B，根据公理2，通过点A、B和不在直线l上的已知点M存在唯一平面，而根据公理1，已知直线l在这个平面

5、上。推论2　通过两条相交直线存在唯一平面。事实上，在已知直线l1，l2上分别取点A、B，根据公理3，通过点A、B和两条直线的交点O存在唯一平面，而根据公理l，已知两条直线都在这个平面上。推论3　通过两条平行线存在唯一平面。图　1-1事实上，根据平行线定义，两条平行线必在同一平面上。根据推论1，通过第一直线和第二直线上的任意点A的平面是唯一的。推论4　在空间存在不在同一平面上的直线。事实上，取平面和它上面的直线a，在平面外取一点B（公理4），通过平面上直线a外的任意点A和点B的直线b，与直线a不能在同一平面上。因为，如果假定直线a和b在某个平面上，则必通过直线a和点A，将与重合，因而B在上，这是

6、不可能的。因此直线a和b不在同一平面上。1.3　移动与不变量图　1-2“移动”是初等几何中的一个重要概念。任何刚体都可以在空间任意位移改变它的位置而大小和形状不变。在物理和力学里，把物体的这种位移作为随时间变化的进程来研究，也就是当物体从位置P移动位置，同时要研究在每个时刻的所有中间位置，特别是要研究运动体的每个点所画的轨道，以及由这些轨道所确定的位置P和的点间的一一对应关系（图1-2）。在几何里“移动”的概念是物体运动的抽象形式，由于在几何里不考虑时间，所以“移动”不能作为进程来研究，也就是只研究图形的两个位置。因此在力学里经不同轨道由位置P到位置的位移，在几何里看做是同一个移动，而且把它抽

7、象地定义如下：如果图形P到的点作成一一对应，并且对应线段总是相等的，则这种对应叫做图形P到的移动。图1-2表示一个移动A、；B、；…是对应点AB、；…是对应线段。如果存在图形P到图形的某个移动，则叫做图形P等于图，显然，这时图形等于图形P。这里应该注意，几何里的移动概念，比力学里的更广泛些，如果只从始终位置的考虑，力学里的位移也就是几何里的位移。反之，几何里的位移，不会是力学里的位移。例如，一个图