代数变形例讲.doc

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1、【代数十讲】代数变形例讲陶平生内容与方法：代数变形是处理数学问题的重要手段与基本能力，是数学功底的体现，常用的方法有：结构变形法；代换法；迭代法；配方、拆拼配凑法；部分分式；齐次化；利用对称性；利用非负项；、设是的一个近似值，证明：是的一个更好的近似值，并且与异号．证：、若，则…①；同样，在时，可得…②．因此与异号．①②、如果，则由①知，记，，则，且；即，这表明，比更接近于；对于的情形，同理可证．、设，；证明：．证：据第一式立方得，；所以有，故得．从而，若记，，则是方程的两根，也是此方程的两根，因此，或者，，由此；或者，，由此；总之都

2、有．、设，证明：、；、．、证一：对于满足…①的任一组实数，若，则，结论显然成立；若，设，，令，则…②，…③代入所证式，化为证…④据②③得，，于是④左边；④右边；因此④成立，结论得证．证二：对于满足…①的任一组实数，若，则因，于是，即此时中必有一个为，不妨设，由①，，于是，结论成立；若，设，，令，则…②，…③，由此得…④所证式化为…⑤⑤式右边．因此⑤成立，结论得证．、证明：对于满足…①的任一组实数，若，则，结论显然成立；若，设，，令，则…②，…③代入所证式，化为证…④据②③得，，于是④右边；而④左边，即④成立，从而结论得证．、设为实数，

3、，且，证明：方程有一根介于和之间．证：由条件得，，记，当，有；如果，则，这时二次函数在中与轴有一交点；如果，则，即这时二次函数在中与轴有一交点，因此不论何种情况，都有一根介于和之间．、设，令，，求．（年全国初中联赛江西卷）解：对任何，因，则，两边通乘，并取，得到…①在①式中分别令，然后相加得…②又记，，所以，…③据②③得，．、设正整数满足：；求乘积所有可能的值．解：如果三数全相等，则有，这时；如果不全相等，不妨设为最大数，则因，据正整数，所以，，于是，；由于皆为正整数，则也为正整数，设（不妨设），则因，得或者；由此，或，于是，或，即乘

4、积可能取到的值有三种情况；另一方面，这三种情况都可以出现：例如，当时，；当时，；当时，．、设实数满足：，证明：．证一：据条件知皆不为，且不全相等；不妨设，直接将条件式看作关于的方程，通乘分母后，就成为关于的一元二次方程，显然该方程有一根；于是所证式成立；证二、将条件式左边通分，得到，因此；分解因式即，故三式中必有一个成立；据此立知所证结论成立．、设皆不为，满足：；证明：．证：．、设，证明：对任意，都成立等式：．证：作以为根的三次方程，展开化简得…①，其中…②；将①两边同乘，得…③，显然也是③的根；据此有，，；相加得…④，但由②，，，所

5、以④成为．、已知；证明：．证：由条件得，，据比例性质得，，约去，并通乘得，，所以，，再次用比例性质得，，约去，并同除得，．、若实数，满足；证明：．证：；同理有，，故由条件等式得又知，所以因此．、设都是的多项式，且；求证：是的一个因式．证：的五个根是：，而，所以，是的四个虚根；将其中任三个虚根例如代入条件式，得到系数行列式，故方程组只有零解，即，所以是的一个因式．、证明：从集合中任取个数构成的子集中，一定含有差为的数对，但不一定含有差为的数对．证：、先证明，从中任取个数，必有两数之差为；为此，将的元素排成行列的表（表）：（表），，（表）

6、从表中的个列中取出个数，必有一列取出了至少个数，其中必有两数在列中相邻，其差恰为；、次证，从中任取个数，必有两数之差为；为此，将的元素排成表二：共得列，每列相邻两数之差为，（前四列中每列有个数，后八列中每列个数；）从列中取个数，必有一列至少取出了五个数；、如果有一列取出了六个数，因每列至多个数，该列中必有两数相邻，其差为；、如果任一列所取的数至多个，则至少有列各取了五个数，即是说，后列中有一列取到五个数，其中必有两数相邻，其差为；、为证取出的个数中有两个之差为，我们给出表格：表中有列，每列至多个数，从中取出个数，必有一列中至少取出了五

7、个数，其中必有两数相邻，其差恰为．（表），（表）、今证明，不一定有两数之差为；列表如表，构造取法，将第行的数全部取出，共得个数，其中任两数之差不等于．、数列满足：，记；求的值．解：据条件，，所以，；因此有；再从以及可知，数列各项皆为正数，且严格单调递增，而；于是当，就有，所以，即．、求满足以下关系的全部实系数多项式，使得．（越南）解：将条件式改写为…①以分别代入①中，得到；所以可令…②，其中为的实系数多项式，由此，…③将②③代入①中，就有，由于两边都是的多项式，且对一切实数，等式皆成立，所以…④，由于，则有…⑤，其中为的实系数多项式；

8、在此式中易为，又得…⑥将⑤⑥代人④得，因，所以，这表明，为常数，记，利用②⑤式得，，其中为任意常数．直接验证表明，这种多项式满足给定的条件，从而就是所求的多项式．、设为实数，满足：，证明：或者，或者，其中必有一个成立．（