中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题一】专题解析.doc

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1、中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题一】专题解析例1．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接

2、写出α的范围．图2ABCQPM图1ABCQM(P)图1ABCQM(P)D解：（1）补全图形，见图1；∠CDB＝30°（2）猜想：∠CDB＝90°－α证明：如图2，连结AD，PC∵BA＝BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC∵点D，P在直线BM上，∴PA＝PC，DA＝DC又∵DP为公共边，∴△ADP≌△CDP∴∠DAP＝∠DCP，∠ADP＝∠CDP又∵PA＝PQ，∴PQ＝PC∴∠DCP＝∠PQC，∠DAP＝∠PQC∵∠PQC＋∠DQP＝180°，∴∠DAP＋∠DQP＝180°图2ABCQPMD∴在四边形APQD中，∠ADQ＋∠APQ＝180°∴∠APQ＝2α，∴∠ADQ

3、＝180°－2α∴∠CDB＝∠ADQ＝90°－α（3）45°＜α＜60°提示：由（2）知∠CDB＝90°－α，且PQ＝QD∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°－2α∵点P不与点B，M重合，∴∠MAD＜∠PAD＜∠BAD∴α＜180°－2α＜2α，∴45°＜α＜60°2．已知，点P是∠MON的平分线OT上的一动点，射线PA交直线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°．（1）求证：PA＝PB；（2）若点C是直线AB与直线OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求的值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2

4、，直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．MTNO备用图MTNO备用图MTNO图1ABPMTNOEF（1）证明：①当点A在射线OM上时，如图1作PE⊥OM于E，作PF⊥ON于F则∠EPF＋∠MON＝180°∵∠APB＋∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF∴∠EPA＝∠FPB∵OP平分∠MON，∴PE＝PF∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB图2ABPMTNOFE②当点A在MO延长线上时，如图2作PE⊥OM于E，作PF⊥ON于F则∠EPF＋∠MON＝180°∵∠APB＋∠MON＝1

5、80°，∴∠EPF＝∠APB∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF∴∠EPA＝∠FPB∵OP平分∠MON，∴PE＝PF∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB（2）解：∵S△POB＝3S△PCB，∴点A在射线OM上，如图3图3ABPMTNOC∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝(180°－∠APB)∵∠APB＋∠MON＝180°，∠POB＝∠MON∴∠POB＝(180°－∠APB)，∴∠PBC＝∠POB又∠BPC＝∠OPB，∴△POB∽△PBC∴＝＝（3）解：①当点A在射线OM上时，如图4图4ABPMTNOED∵∠APB＋∠MON＝180°，∠MO

6、N＝60°∴∠APB＝120°，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∠BPD＝60°∵∠PBD＝∠ABO，∴∠PBD＝∠ABO＝75°作BE⊥OP于E∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠BOE＝30°∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝，∠OBE＝60°∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴PE＝BE＝1∴OP＝OE＋PE＝＋1②当点A在MO延长线上时，如图5此时∠AOB＝∠DPB＝120°图5ABPMTNOED∵∠PBD＝∠ABO，∠PBA＝30°，∴∠PBD＝∠ABO＝15°作BE⊥OP于E，则∠BOE＝30°∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝，∠OBE＝60°∴∠EBP＝∠

7、EPB＝45°，∴PE＝BE＝1∴OP＝OE－PE＝－13．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点G．若∠DCF＝30°，求及的值．AB

8、CDEF图