中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题三】专题解析

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1、数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题三】专题解析1．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．（1）如图l，求证：PC＝AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE＝∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP＝2，PC＝3，CK:CF＝2:3，求DQ的长．QAP

2、BCMN（图1）QAPBCMN（图2）KDEFH（1）证明：方法一：如图1，∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM＝∠ANM＝90°∴∠PAQ＋∠MAN＝∠MAN＋∠AMN＝90°QAPBCMN（图1）∴∠PAQ＝∠AMN∵PQ⊥AB，MN⊥AC，∴∠PQA＝∠ANM＝90°∵AQ＝MN，∴△AQP≌△MNA∴AN＝PQ，AM＝AP，∴∠AMB＝∠APM∵∠APM＝∠BPC，∠BPC＋∠PBC＝90°，∠AMB＋∠ABM＝90°∴∠ABM＝∠PBC∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ＝PC，∴PC＝AN方法二：如图1，∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM＝∠ANM

3、＝90°∴∠PAQ＋∠MAN＝∠MAN＋∠AMN＝90°∴∠PAQ＝∠AMN∵PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°＝∠ANM∵AQ＝MN，∴△PQA≌△ANM∴AP＝AM，PQ＝AN，∴∠APM＝∠AMP∵∠AQP＋∠BAM＝180°，∴PQ∥MA∴∠QPB＝∠AMPQAPBCMN（图2）KDEFTGH∵∠APM＝∠BPC，∴∠QPB＝∠BPC∵∠BQP＝∠BCP＝90°，BP＝BP∴△BPQ≌△BPC，∴PQ＝PC，∴PC＝AN（2）解：方法一：如图2，∵NP＝2，PC＝3，∴由（1）知PC＝AN＝3∴AP＝NC＝5，AC＝8，∴AM＝AP＝523数学专题之【以

4、三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————∴AQ＝MN＝＝4∵∠PAQ＝∠AMN，∠ACB＝∠ANM＝90°∴∠ABC＝∠MAN∴tan∠ABC＝tan∠MAN＝＝∵tan∠ABC＝，∴BC＝6∵NE∥KC，∴∠PEN＝∠PKC又∵∠ENP＝∠KCP，∴△PNE∽△PCK，∴＝∵CK:CF＝2:3，设CK＝2k，则CF＝3k∴＝，∴NE＝k过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形∴NE＝TF＝k，∴CT＝CF－TF＝3k－k＝k∵EF⊥PM，∴∠BFH＋∠HBF＝90°＝∠BPC＋∠H

5、BF∴∠BPC＝∠BFH∵EF∥NT，∴∠NTC＝∠BFH＝∠BPC∵tan∠NTC＝tan∠BPC＝＝2，∴tan∠NTC＝＝2∴CT＝k＝，∴k＝∴CK＝2×＝3，BK＝BC－CK＝3∵∠PKC＋∠DKE＝∠ABC＋∠BDK，∠DKE＝∠ABC，∴∠BDK＝∠PKCtan∠PKC＝＝1，∴tan∠BDK＝1过K作KG⊥BD于GQAPBCMN（图3）KDEHFRG∵tan∠BDK＝1，tan∠ABC＝，∴设GK＝4n，则BG＝3n，GD＝4n∴BK＝5n＝3，∴n＝，∴BD＝4n＋3n＝7n＝∵AB＝＝10，AQ＝4，∴BQ＝AB－AQ＝6∴DQ＝BQ－B

6、D＝6－＝方法二：如图3，∵NP＝2，PC＝3，∴由（1）知AN＝PC＝3∴AP＝NC＝5，AC＝8，∴AM＝AP＝5∴AQ＝MN＝＝4∵NM∥BC，∴∠NMP＝∠PBC又∵∠MNP＝∠BCP，∴△MNP∽△BCP∴＝，∴＝，∴BC＝623数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————作ER⊥CF于R，则四边形NERC是矩形∴ER＝NC＝5，NE＝CR∵∠BHF＝∠BCP＝90°，∴∠EFR＝90°－∠HBF，∠BPC＝90°－∠HBF∴∠EFR＝∠BPC，∴tan∠EFR＝tan∠BPC∴

7、＝，∴＝，∴RF＝∵NE∥KC，∴∠NEP＝∠PKC又∵∠ENP＝∠KCP，∴△NEP∽△CKP，∴＝＝∵CK:CF＝2:3，设CK＝2k，则CF＝3k∴NE＝CR＝k，CR＝CF－RF＝3k－∴3k－＝k，k＝，∴CK＝3，CR＝2，∴BK＝3在CF的延长线上取点G，使∠EGR＝∠ABC∴tan∠EGR＝tan∠ABC，∴＝＝∴RG＝ER＝，∴EG＝＝，KG＝KC＋CR＋RG＝∵∠DKE＋∠EKC＝∠ABC＋∠BDK，∠ABC＝∠DKE∴∠BDK＝∠EKC，∴△BDK∽△GKE，∴＝∴BD·EG＝BK·KG，∴BD×＝3×，∴BD＝∵AB＝＝10，AQ＝4

8、，∴BQ＝AB－AQ＝6∴DQ＝BQ－BD＝6－＝方