中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析

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1、数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC．（1）如图1，当∠APB＝90°时，①求证：PC平分∠ACB；②若PC＝6，求BC的长；（2）如图2，当∠APB＝60°，PC＝5时，求BC的长．ACBP图1ACBP图2（1）①证明：过点P分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F则四边形ECFP是矩形，∠EPF

2、＝90°ACBP图1DEF∵∠APB＝90°，∴∠EPA＝∠FPB＝90°－∠APF又PA＝PB，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴△PEA≌△PFB∴PE＝PF，∴矩形ECFP是正方形∴PC平分∠ACB②解：延长CB至D，使BD＝AC＝5，连接PD∵在四边形ACBP中，∠ACB＝∠APB＝90°∴∠PAC＋∠PBC＝180°∵∠PBD＋∠PBC＝180°，∴∠PAC＝∠PBD又PA＝PB，AC＝BD，∴△PAC≌△PBD∴PC＝PD，∠APC＝∠BPD∵∠APC＋∠BPC＝90°，∴∠BPD＋∠BPC＝90°即∠CPD＝90°

3、，∴△PCD是等腰直角三角形∴CD＝PC＝12∴BC＝CD－BD＝12－5＝7ACBP图2EDAEA（2）以AC为边向外作等边三角形ACD，作DE⊥BC于E，连接DB则DE＝AC＝，CE＝AC＝∵PA＝PB，∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形∴AB＝AP，∠BAP＝60°＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CAP又AD＝AC，∴△ADB≌△ACP∴BD＝PC＝5在Rt△BDE中，由勾股定理得：()2＋(＋BC)2＝(5)2，解得BC＝(－)24数学专题之【以三角形为基础】精品解析—————————————————————————

4、——————————————2．在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝x平行，AB长为8，若点P是直线l上的动点，求△PAB的内切圆面积的最大值．ABOyxl解：∵AB∥直线l，点P在直线l上∴△PAB的面积S△PAB是定值设△PAB的内切圆的半径为r，则S＝PA·r＋PB·r＋AB·r∴r＝∵AB长为8，是定值，∴当PA＋PB最小时，r最大，从而内切圆面积最大作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，连接PB，则PA＋PB最小此时PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′ABOyx

5、lB′PMN∵点B和点B′关于直线l对称∴直线l垂直平分线段BB′∵AB∥直线l，∴AB⊥BB′∴△ABB′是直角三角形且∠ABB′＝90°作AM⊥直线l于M，作MN⊥OA于N，设M（m，m）则ON＝m，MN＝m，OM＝m由△OAM∽△OMN，得＝＝∴AM＝OA＝×5＝3，∴BB′＝2AM＝6又AB＝8，∴AB′＝10∴r＝＝＝＝∴△PAB的内切圆面积的最大值是：π×()2＝π3．已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．过点C作直线l∥AB．点D在线段BC上，点E在直线l上．若∠ADE＝120°，CE＝1，求DC

6、的长．解：①当点E在点C上方时，如图1在AC上取点F，使DF＝DC，连接DF24数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°ABDCElF图1G∴∠DFC＝∠DCF＝30°∴∠FDC＝120°，∠DFA＝150°∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAC＝120°∴∠DCE＝150°，∴∠DFA＝∠DCE∵∠ADE＝∠FDC＝120°∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠FDE在△ADF和△EDC中∠ADF＝∠

7、EDC，DF＝DC，∠DFA＝∠DCE∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1∴FC＝AC－AF＝4－1＝3ABDCElF图2过D作DG⊥AC于G，则GC＝FC＝∴DC＝＝②当点E在点C下方时i）情形1，如图2在CA延长线上取点F，使DF＝DC，连接DF则∠F＝∠DCF＝∠DCE＝30°，∴∠FDC＝120°又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠ADC∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1∴FC＝AC＋AF＝4＋1＝5，∴DC＝ii）情形2，如图3过D作DF⊥AC于F，过E作EG⊥BC于G则∠BDF＝90°

8、＋30°＝120°又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDG＝120°－∠ADBFCBA图3lEDG∴△ADF≌△EDG，∴＝设DC＝x，则DG＝－x∴＝解得x1＝＞4（舍去），x2＝综上所述，DC的长为或或4．如图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（