中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题六】专题解析

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1、数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题六】专题解析例1．如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点，且＝，∠BAD＝∠ACE．ABCDE（1）求证：AC2＝BC·CD；（2）若E是△ABC的重心，求的值．（1）证明：∵＝，∠BAD＝∠ACE∴△ABD∽△CAE，∴∠B＝∠EAC∵∠BAC＝∠BAD＋∠EAC，∠ADC＝∠BAD＋∠B∴∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DAC∴＝，即AC2＝BC·CD（2）解：∵E是△ABC的重心，∴BD＝CD，AE＝

2、2DE∴S△ABD＝S△ADC，S△CAE＝2S△CDE∴S△CAE＝S△ADC＝S△ABD，即＝∵△ABD∽△CAE，∴＝＝∴AE2＝BD2＝CD2，即(AD)2＝CD2，∴AD2＝CD2∵AC2＝BC·CD，BD＝CD，∴AC2＝2CD2∴＝2．如图，在边长为2的等边三角形△ABC中，D是BC中点，E是BA延长线上一动点，连接ED、EC，ED交AC于点F．（1）当ED＝EC时，求AE的长；（2）如果以A为圆心、AE为半径的圆与以C为圆心、CF为半径的圆相切，求tan∠AEC的值；（3）以A、E、F为顶点的三角形能否与△ACE相似？如果能，求AE的长；如果不能，说明理由；CA

3、DBFE17数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————解：（1）延长BC到G，使CG＝BD，连接EG∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECDCADBFEG∴∠EDB＝∠ECG在△BED和△GEC中ED＝EC，∠EDB＝∠ECG，BD＝CG∴△BED≌△GEC，∴∠B＝∠F∵△ABC是边长为2的等边三角形∴AB＝BC＝2，∠B＝60°∴∠G＝60°，∴△BEG是等边三角形∴BE＝BG，∴AE＝CG，∴AE＝BD∵D是BC中点，∴BD＝1，∴AE＝1（2）过D作DG∥AC交AB于G∵D是BC中点，∴AG＝BG＝AB＝

4、1∵DG∥AC，△EAF∽△EGD，∴＝AFGCDBE设EA＝x，则＝，∴AF＝∴CF＝2－＝若两圆外切，则AE＋CF＝AC即x＋＝2，解得x＝0（舍去）若两圆内切，则AE－CF＝AC即x－＝2，解得x＝1－（舍去）或x＝1＋连接CG，则CG⊥AB，CG＝AG·tan60°＝EG＝EA＋AG＝1＋＋1＝2＋CADBFE∴tan∠AEC＝＝＝－2（3）∵∠AEC＞∠AEF∴若以A、E、F为顶点的三角形与△ACE相似，只能∠AEF＝∠ACE此时＝，即AE2＝AC·AF∴x2＝，解得x＝－2（舍去）或x＝1∴以A、E、F为顶点的三角形能与△ACE相似，此时AE的长为117数学专题之【

5、以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是AB上的中线，点E是边BC上一动点（不与B、C重合），直线DE交直线AC于点F．（1）当△CEF是等腰三角形时，BE的长为________________；（2）当BE为何值时，以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似？（3）若S△BED＝S△AFD，求直线DE与AB所夹锐角的正切值；ABCD（4）是否存在这样的点E，使得以A为圆心、AF为半径的圆与以B为圆心、BE为半径的圆相切？若存在，求出BE的长；若不存在

6、，请说明理由．解：（1）1或7过D作DG⊥BC于GABCDEFG①当点F在AC延长线上时∵∠ACB＝90°，∴DG∥AC∵CD是AB上的中线，∴AD＝BD∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝AC＝3，BG＝BC＝4∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90°∵△CEF是等腰三角形，∴∠CEF＝45°∴∠DEG＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形∴EG＝DG＝3∴BE＝BG＋EG＝4＋3＝7②当点F在CA延长线上时ABCDEFG∵∠ACB＝90°，△CEF是等腰三角形，∴∠CEF＝45°∴EG＝DG＝3∴BE＝BG－EG＝4－3＝1∴BE的长为1或7（2）∵∠ACB＝90°，AC＝6，B

7、C＝8，∴AB＝10∵CD是AB上的中线，∴AD＝BD＝5①当点F在AC延长线上时ABCDEF若∠CEF＝∠B，则∠BED＝∠CEF＝∠B，∵CD是斜边AB上的中线，∴∠BCD＝∠B∴点E与点C重合，此时△CEF不存在若∠F＝∠B，∵∠ECF＝∠ACB＝90°∴△EFC∽△ABC在△AFD和△ABC中，∵∠F＝∠B，∠A＝∠A∴∠ADF＝∠ACB＝90°ABCDEFH∴BE＝＝＝②当点F在CA延长线上时∵∠CAB＞∠F，∴当∠F＝∠B时，△EFC∽△ABC17数学专题之【以三角形为基础】精品