赋予新内容 用递推公式.pdf

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1、中学生数学·2014年2月上·第483期(高中)思河北省正定中学(O5O80O)赵建勋路递推数列是数列一章的难点，若赋予新知根据(1)和(2)，口一对一切∈N都识内容，则关系更加隐蔽，题目难度更大，现举与成立．例说明，供读者参考．一点评归纳时要注意找出项与序号之间的、赋予三角内容法关系，而且求出的这几项都应具有这种统一的关例I已知数列{a}满足a=：：l，n一口一系，这样才能归纳出一般的表达式．例如a一cos．z+cos(一1)(z≠忌丌，7z≥2)，求通项公式口”．而不能写成az一2c0ST．想一想，为什么?Slnx解’．‘口1—1，二、转化为三角n一a一1cosx+

2、COS(n-1)z(≥2)．‘例2在数列{n)中，口一√2，口+一．．02口1COSX+COSX~／2+口，求通项公式a．=COSX——cosx一2cosx=—sin2x一．解a一2c。s手一2c。s，Slnx口3=口2cosz+COS2X一瓜sin2一—_—一xC0SX+十C0S2zZ_SlnZsin2x·COSZ—一COS2X·sinx一／—一2cosS1nsin(2x+z)sin3x一—一sinxsinx‘猜想一罂．一Sln一2√^／—-zc。0用数学归纳法证明如下：猜想n一2c。s寿．(1)当===1时，左边一口一1，右边一一slnxlIl用数学归纳法证明这个结

3、论．一1，等式成立．(1)当一1时，左边一口一，(2)假设当n=k时等式成立，右边一2c。s一，结论成立．即口^一sinkx寸．1II。C(2)假设当n=k肘，结论正确，于是日+1一日COSX+cos(k+1—1)x即n一2c。s寿．sinkx=_cos+coskSlnX那么sinkx·COSX+cOS忌．z．sinxSlnsin(k+1)SlnZ这就是说当n=k+1时等式也成立．网址：ZXSS．cbpt．cnki．net●11●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn中学生数学·2014年2月上·第483期(高中)由Q点与Q点的坐标，就口J以得到数列

4、通寸由(1)和(可以断定n一COS对一切项a与a的关系．思∈N都成立．因为Q(，口2)，P+(．：，n：)，点评由前项的结果猜测结论，是由不路完全归纳法得到的，它是否具有一般性，应当所以an+l一．2，文a用数学归纳法加以证明．所以例3给定数列{35")，且一万1n一·n--a1-(一1a～1／弦——————■=一，求冰z1001一X401的州值但．1一(2-43)z一(。’·a分析此例从问题的给出形式上看，是一个数列的递推关系式，显然，凭此进行一般性==(—)·(—：1：一·cz2。)的递推，不容易达到求解目的．但仔细观察可以发现，递推式与两角和公式很相似，能否施一(

5、一。行三角转换呢?答案是肯定的．解设z+l—tan0．¨，因为tanl5。一2一：：(—)。⋯。一。．。2n-1√3，所以tan0~+1一tan(0,+15。)．故有tan0．+12一tan(+180y)一tan0．，一n()．即z+12=X，(2)证明：由a一1，知a¨一a：，数列{z}是以12为周期的数列．因为n≤1所以n≤1又因为(1001—401)÷12—50．，，n。≤．所以zl)0】一z40l一0．因为当志≤1时，n+z≤n。≤，三、赋予解几内容例4如图1，已知直线l：Y所以∑(n一)=n及曲线C：Y—z，C上的点≤～)Q的横坐标为a(O

6、点Q(7z≥1)作平行z轴的===(n一)<1．直线，交直线z于P+，再从点点评解析几何中的数列递推关系往往尸作平行于．)，轴的直线，交曲是通过相邻线段长度、点的坐标变化等形式来线C于点Q+，Q的横坐标构成图1联系的，揭示这类问题中的递推关系，要抓住数列{a)．图形相邻位置的变化规律，以此获得突破．(1)试求}和a的关系，并求{a}的通四．赋予平面几何内容项公式；例5如图2，在直一(2)当n一1，。≤1时，证明∑(a一角△ABC内有一系列=01正方形，其面积为S，ak+，)ak+2<壶·S2，S。⋯，S，⋯，已知AB—a，且所有正方形图2分析与解答本例中，根据题设条件，

7、由Q点的坐标可以得到P点的坐标，再由面积之和等于直角△ABC面积的一半，求BCP+点的坐标可以得到Q+点的坐标，这样，的长和A的大小．◇N]III：=zxss．cbpt．cnki．net·12·⋯一@⋯⋯中学生数学-2014年2月上·第483期(高中)分析与解答解决这一数列应用I司题需所有正方形面积的和：求出所有正方形的面积的和，从而转化为所求S—a{+a；+a；+⋯⋯正方形的边长．思一(1+tan0)。÷‘[L一(＼再1十tatna0n0，／]设正方形的边长依次为a，a。，a。，⋯，A路一0，则有BC=a·tan0，根据△ADEc／~△