几何证明()对于几何中等量关系的证明.doc

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1、几何证明(一)对于几何中等量关系的证明第一部分：基本问题示例一、证明边相等1．应用全等：　　1.已知：如图，四边形ABCE中，AC为对角线，AD⊥BC于D，且AC2=AE2+EC2，BD=CE，AD=AE.　　求证：AB=AC　　证明：∵AC2=AE2+EC2　　　　　∴△AEC为直角三角形　　　　　∴∠AEC=90°　　　　　∴在Rt△ADB与Rt△AEC中　　　　　　　　　　　　∴△ADB≌△AEC(SAS)　　　　　∴AB=AC　　借较基本的问题关注常见的几种证明等边的方法，并在其中积累.　　解决几何问题的一般策略：明确任务→判定方法

2、—分析条件.　　积累：①从已知入手，AC2=AE2+EC2→出现直角；　　　　　②标注已知条件；　　　　　③要证AB=AC，从哪儿来？直观观查和从已知条件入手.2．应用平行四边形性质：　　2.已知：△ABC中，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，且四边形AEDF是菱形，试判断△ABC的形状.　　解：在△ABC中　　　　∵D为BC中点，　　　　　E为AB中点，　　　　∴DE∥AC且　　　　同理：DF∥AB，且　　　又∵四边形AEDF为菱形　　　　∴DE=DF　　　　∴AC=AB　　　　∴△ABC为等腰三角形.　　积累：①多个中点→中位线→

3、平行→平行四边形(从已知看)；　　　　　②菱形→相等的线段、角；　　　　　③△ABC形状怎么判断？　　　　　　从角：等角，直角；从边：等边，两条边的平方和=第三边的平方等；　　　　　④由①②结合直观找到目标.二、证明角相等　　3．如图，△ABC各角的平分线，AD、BE、CF相交于O，过O作OG⊥BC于G.　　求证：∠BOD=∠COG.　　分析：本题难点：①各角平分线→条件杂乱；②欲证两角相距较远，直观上没有三角形全等.　　切入点：①相等角较多，方便表示；②建立联系.　　证明：∵AD为△ABC角平分线　　　　　∴　　　　　同理：　　　　　∴∠

4、1+∠2+∠3==　　　　　∴∠BOD=∠2+∠3=90°-∠1　　　　　又∵OG⊥BC于G　　　　　∴∠COG=90°-∠1　　　　　∴∠BOD=∠COG　　积累：条件分散时如何集中？　　　　　可用其它条件表示；利用等式性质.第二部分　综合问题思路探求　　1．(06北京)如图(a)，OP是∠MON的平分线，请利用该图画一对OP所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题.　　　　　(1)如图(b)，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请

5、判断并写出FE与FD之间的数量关系.　　(2)如图(c)，在△ABC中，若∠ACB不是直角，而(1)中其他条件不变，请问，在(1)中所得结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.　　解答：　　(1)FE=FD.　　(2)证明：在AC上截取AG=AE，连结FG　　　　　　在△AFE与△AFG中　　　　　　∵　　　　　　∴△AFE≌△AFG(SAS)　　　　　　∴EF=FG，∠AFE=∠AFG(即∠1=∠2)　　　　　　∵∠B=60°　　　　　　∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°　　　　　　∴∠FAC+∠FCA=(即∠3

6、+∠4)　　　　　　∴∠1=∠2=∠CFD=60°　　　　　　∴∠CFG=60°　　　　　　在△CFD与△CFG中　　　　　　∵　　　　　　∴△CFD≌△CFG(ASA)　　　　　　∴DF=FG　　　　　　∴EF=DF.即FE=FD.　　2．(07北京)等对边四边形：一组对边相等的四边形.　　(1)举例.　　(2)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A=60°，　　　∠DCB=∠EBC=，请写出一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；　　(3)在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角

7、，点D、E分别在AB、AC上，且∠DCB=∠EBC=.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.　　分析：本题难点：①∠DCB=∠EBC=怎么使用？②可能发现不到证等对边四边形，实质是证一组线段相等.③该由何方法证明线段相等？选哪种好？　　突破点：①考虑作双垂直(条件少，直角三角形中可用定理多)；②直观看到△BDM≌△CEN，但条件仍少；③多用角找相等，及等量的传递.　　解：(1)略；　　　　(2)∠A=∠BOD=∠COE，四边形DBCE为等对边四边形.　　　　(3)过B作BM⊥CD延长线于M，作CN⊥BE于点N　　　

8、　　△BCM≌△CBN(AAS)　　　　　∴BM=CN　　　　　∵∠BDM=∠DBC+∠DCB(外角)　　　　　　　　=∠DBO+∠OBC+∠DCB(分开向已知等角靠)