互不同构的8阶和20阶群.doc

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1、抽象代数小论文互不同构的18阶和20阶群姓名：成超班级：F0907101学号：5090719019一．互不同构的18阶群1.互不同构的18阶Abel群设A为18阶的Abel群，则。由Sylow定理可以确定A的Sylow子群阶数分别是：和。从而得到A的初等因子有（2,3,3）和（2,9）。所以18阶Abel群有两个：和。（2,3,3）化为不变因子是（3,6），所以。（2,9）化为不变因子是（18），所以。从而确定互不同构的18阶Abel群有两个：和。2.互不同构的18阶非Abel群设G为18阶非Ab

2、el群。由Sylow定理可知，G必有9阶的Sylow-3子群，不妨记为S。2.1S是循环群：则，再取G中2阶元b，则有。设，则，故。由可解得，即。所以，。2.2S不是循环群：则必有，再取G中2阶元c，则有。设。则有：所以可以得到如下的同余方程组：其中而且，在解这个同余方程组的时候，应当注意到如下的事实：即若方程组有一解为，则还有对应的另一解但是这两组解从本质上讲是一样的，这是因为只要交换下第一组解的a和b的位置，就能的到第二组解，所以，这两组解只算作一组解。从而我们可以得到如下7组方程组的解：⑴即

3、⑵即⑶即⑷即⑸即⑹即⑺即下面再来探究这几组解的性质：首先，因为G非Abel群，所以(2)不合条件，舍去。对于(3)：有；即在(1)中用代替a，用a代替b，可见(3)和(1)同构。对于(4)：有；即在(1)中用代替a，用代替b，可见(4)和(1)同构。对于(5)：有；即在(1)中用代替a，b保持不变，可见(5)和(1)同构。对于(6)：有；即在(1)中a保持不变，用代替b，可见(6)和(1)同构。对于(7)：可证明(7)与(1)不同构：反证法：若(7)与(1)同构，则存在(7)中的，可以代替（1）中

4、a的位置。但，即在(1)中，这与矛盾。所以(7)与(1)不同构。故剩余的是：；。所以，互不同构的18阶非Abel群有：；；；一．互不同构的20阶群1.互不同构的20阶Abel群设B为20阶的Abel群，则，由Sylow定理可以确定B的Sylow子群阶数分别是：和。从而得到B的初等因子有（2,2,5）和（4,5），所以20阶Abel群有两个：和。（2,2,5）化为不变因子是（2,10），所以；（4,5）化为不变因子是（20），所以；从而确定互不同构的20阶Abel群有两个：和。1.互不同构的20阶非

5、Abel群设G为20阶非Abel群。由Sylow定理可知，G必有5阶的Sylow-5子群和4阶的Sylow-2子群。Sylow-5子群的个数满足：，只有唯一解，记这唯一的Sylow-5子群。Sylow-2子群个数满足：，则或。当时，G是Abel群，所以，。这时，G有5个相互共轭的4阶Sylow-2子群，不妨记其中一个为K。2.1K是循环群：则。设，则，所以，即，i可取1,2,3,4。⑴，则G是Abel群，舍去。⑵，则，此时。⑶，则，此时，与⑵同构。⑷，则，此时。2.2K不是循环群：则。设，则有，所

6、以，即。i可取1,4；j可取1,4。⑴，则G是Abel群，舍去。⑵，则，此时。⑶，则显然与⑵同构。⑷，则，此时，所以与⑵同构。所以，互不同构的20阶非Abel群有一．结论18阶Abel群：，；18阶非Abel群：；；。20阶Abel群：，；20阶非Abel群：；；。