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1、群的元素的阶与群的构造数06.1陈琥何军杜斌张良林0608410120060841011806084101280608410142摘要：群是《近世代数》的一个重要概念，从不同角度出发，群可以分为有限群和无限群两大类，又可以分为交换群和非交换群两大类。在学习群的过程中我们还学习了群的阶以及群的元素的阶，而元素的阶又是群的一个重要概念。元素的阶和群的有内在联系；所以本文利用元素的阶研究某些群的构造。关键字：群元素的阶群的阶群的构造中图分类号：0152一：元素的阶定义1.1设a是群G的元素，若存在使的最小正整数m，则称a的阶为
2、m（此时称a有限阶元素），而对任意的正整数n，都有，则称元素a的阶是结论1.1（1）群的元素a的阶为有限存在，使为有限集合存在正整数n，使（2）群的元素a的阶为无限对任意，均有为无限集合对任意正整数n，均有（3）①群的元素的阶为1②群的元素的阶为2且③群的元素的阶>211定义1.2若群G中有有限个元素，则称G是有限群，而群G中所含元素的个数叫群G的阶；若群G中有无限个元素，则称G是无限阶群。结论1.2（1）若a是群G的无限阶元素，则，（2）若a是群G的m阶元素，则（3）任意群G的单位元e的阶都是1定理1.1（
3、1）设G是一个群，元素a的阶为n，即，对任意的正整数m，若，则由可推出。（2）设G是一个群，元素a的阶为n，即，对任意的正整数m，若，则。证明（2）：因为元素a的阶为n，则，由整数的带余除法存在整数q和r，使，其中。若，则这与a的阶是n矛盾，则即于是。证毕！结论1.3若a是无限阶元素，则对于任意的非零整数i，也是无限阶元素。定理1.2若群G中元素a的阶为m，则的阶是。证明：首先，记，则有且11则由，有即其次，设，则由定理1.1（2），从而，但是，故，因此，的阶是，即设群中元素a的阶是m，b的阶是n，则当ab=ba且(m,
4、n)=1时，ab的阶是mn。证明：设ab的阶为k，由于则又因为所以，由于则，同理，再有由由于，有，于是结论得证定理1.4设G是一个群，，则a与a的逆元有相同的阶。证明：设而则所以，11所以即结论得证定理1.5设G是一个群,a∈G,a的阶是n,r是任意一个整数,(n,r)=d,则的阶是证明：设的阶是k,则而由，再由，因此，而故，于是所以即的阶是定理1.6设G和是两个群,φ是G到的同态影射，若a∈G且a的阶是m,φ(a)的阶是n,则n
5、m。证明：设的单位元是，因为φ是G到的同态影射,所以φ(e)=。因为a的阶是m,φ(a)的
6、阶是n,故有,=,则===所以n
7、m.11二、元素乘积的阶定义2.1设群中元素a的阶是m，b的阶是n，则ab的阶叫做元素乘积的阶。值得注意的是，当元素a与b不满足ab=ba时，其乘积的阶会出现各种各样的情况，将无法根据a,b的阶来做出判断。即元素可不可换。这里我们讨论元素可换的情况。结论2.1若是群G的可换子集，元素的阶为，，则乘积的阶是的约数。证明：记，则从而，于是因此的阶是的S约数。证毕。结论2.2若群G的元素a的阶有限，元素b的阶无限，ab=ba,则ab是无限阶元素证明：设ab的阶有限，记为n，由条件a的阶有限，记
8、为m从而，而b的阶是无限的，引出矛盾。因此ab是无限阶元素。定理2.1若群G的元素a的阶是s，b的阶是t，ab=ba，则（1）元素ab的阶是[s,t]的约数（2）群G中存在阶是[s,t]的元素。证明：（2）设有标准分解式11则记r=[s,t]有不妨设，则有，且再记则的阶为，的阶为从而元素的阶为证毕定理2.1 设a，b为群G中的两个元素,若
9、a
10、=
11、b
12、=m且存在k∈N使,则ab的阶是。证明：令，则，再令，则，因为，所以但是，所以因为，所以又即ab的阶是11三、某些群的构造所谓群G的构造，是指：G由哪些元素构成，G的元素的
13、运算如何进行。同构的群具有相同的构造，从而，在相互同构的群中,选取一个群进行研究即可。群论的目的就是研究所有群的构造，这是十分复杂的问题。为达到目的，首先要把群分为一些类,如划分为：有限群、无限群,交换群、非交换群,等等;而后就每一类群，看一下有多少不同的群，即互不同构的群，从而再分为一些更小的类；有时将小类再分为小类；最后,就每一个小类进行研究。对于一小类群比如循环群，就要研究其存在问题、数量问题、构造问题.所谓存在问题就是给出此类群的具体例子，所谓数量问题就是给出此类群中互不同构的群的个数，而构造问题是中心。群的元素
14、的阶所提供的信息,能够对群的构造问题作研究。换言之，以群的元素的阶为工具，就可以对某些群作研究。本款试图对某些群的构造作简单的讨论,有的已彻底解决,有的仅是初步认识。利用群的元素的阶讨论群的元素的状况，可以得出群的阶大于2(认为无限阶大于有限阶)的元素的个数与群的阶之间的关系。结论3.1 群G的阶大于2(认为无限阶大
