n维正态分布的定义及性质.pdf

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1、概率论n维正态分布的定义及性质n维正态分布的定义及性质（概率论基础（李贤平），Page234）定义称n维随机变量XX,X,...,X服从参数为Na,B的n维正态分布，记为X~Na,B，12n如果他有密度11T1pxfx1,x2,...,xnn2/2/1expXaBXa2detB2n-11-1n其中，Bb是nn阶正定对称矩阵，detB是它的行列式，而B是它的逆矩阵，记作Bb，ijnijna为任意实值列向量，即如果我们用黑体的小写字母记列向量，以黑体的大

2、写字母记矩阵，则有a1x1x1a1a2x2x2a2b11b12...b1n...b21b22...b2na，X，Xa-，B..................bb...bn1n2nnaxxannn2T称矩阵B为对称的，如果BB，即bb；ijjiTnT称对称矩阵B为正定的，如果对于任意列向量aa,a,...,aR，有aBa0，其中等号成12n-1立，当且仅当

3、a是0向量。如果B正定，则detB存在，且detB0，且B也是正定矩阵（小写代数，居于马，Page272）。T~~定理4.6.2X的任一子向量X,X,...,Xmn也服从正态分布，分布为Na,B，其中k1k2km~T~aak,ak,...,ak，B为保留B的第k,k,...,k行及第k,k,...,k列所得的m阶矩阵。如12m12m12ma1b11b12b13...b1m...b1na2b21b22b23...b2m...b2na3bbb...b...b3132333m

4、3n~.~a，B......................bbb...b...bam1m2m3mmmnm......................bbb...b...ban1n2n3nmnnn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reproduct

5、ionForbiddenPage1of3概率论特别地，X服从一维正态分布Na,b。jjjj定理表明，多维正态分布的边缘分布还是正态分布。定理4.6.3a及B分别是随机向量X的数学期望及协方差矩阵，即ajEXj,1jn；bjkCovXj,XkEXjajXkak,1j,kn由定理可知，n维正态分布完全由它的前面二阶矩确定。定理4.6.4X,X,...,X独立的充要条件是它们两两不相关。12n定理4.6.6XX,X,...,X服从n维正态分布Na,B的充要条件是它的任何一个线性组合1

6、2nnnn2YljXj服从一维正态分布Nljaj,ljbjjj1j1j1利用定理4.6.6可以通过一维正态随机变量来研究多维正态变量，在有些场合这提供了很大的方便。定理4.6.7若XX,X,...,X服从维正态分布nNa,B，而C为任意的mn阵，则YCX服从m12nT维正态分布，NCa,CBC.定理4.6.7表明正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称为正态变量的线性变换不变性。推论一若XX,X,...,X服从维正态分布nNa,B，则存在一个正交变换U，使得YUX

7、是12n一个具有独立正态分布分量的随机向量，它的数学期望为Ua，而它的方差分量是B的特征值。T证明从矩阵论知道，对于实对称矩阵B，存在正交阵U，使UBUD，其中，d10...00d2...0D............00...dn这里，d,d,...d是B的特征值。若B得秩为r，则有r个特征值不为零。此处的U是以特征向量123为列构成的正交阵。把这里的U作为定理4.6.7中的变换矩阵，即可证明该推论。从推论一看出，若B得秩为rn，则正态分布退化到一个r维子空间上。推论一说明，对于多维正态变量，可

8、以进行正交变换，使其既保持正态性不变又让各分量独立，这种方法在数理统计中十分有用。因为变换后得到的正态分布的各随机变量之间的协方差为0，即bCovX,X,0jk，这jkjk说明两两相关，即得X,X,...,X独立（定理4.64）.12n-----