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1、绝对值不等式性质及解法绝对值不等式1、绝对值三角不等式O=a(a>0)A(a)x
2、a
3、xA(a)B(b)
4、a-b
5、任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么
6、a-b
7、的几何意义是A、B两点间的距离。实数a的绝对值
8、a
9、的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：=-a(a<0)
10、a
11、A(a)问题1：从“运算”的角度
12、a
13、,
14、b
15、,
16、a+b
17、具有怎样的关系？分ab>0、ab<0和ab=0三种情形讨论：Oxaba+bOxaba+b（1）当ab>0时，如下图可得
18、a+b
19、=
20、a
21、+
22、b
23、（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如
24、下图可得：
25、a+b
26、<
27、a
28、+
29、b
30、Obaxa+b如果a<0,b>0，如下图可得：
31、a+b
32、<
33、a
34、+
35、b
36、a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：
37、a+b
38、=
39、a
40、+
41、b
42、定理1如果a,b是实数，则
43、a+b
44、≤
45、a
46、+
47、b
48、当且仅当ab≥0时，等号成立。探究：如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？Oxy这个不等式称为绝对值三角不等式。当向量a,b共线时，有怎样的结论？定理1的代数证明：问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下
49、a
50、，
51、b
52、，
53、a-b
54、，
55、a+b
56、,之间的关系吗？
57、a
58、-
59、
60、b
61、≤
62、a+b
63、,
64、a
65、+
66、b
67、≥
68、a-b
69、,
70、a
71、-
72、b
73、≤
74、a-b
75、.如果a,b是实数，那么
76、a
77、-
78、b
79、≤
80、a±b
81、≤
82、a
83、+
84、b
85、例1已知ε>0，
86、x-a
87、<ε,
88、y-b
89、<ε，求证：
90、2x+3y-2a-3b
91、<5ε.证明：
92、2x+3y-2a-3b
93、=
94、(2x-2a)+(3y-3b)
95、=
96、2(x-a)+3(y-b)
97、≤
98、2(x-a)
99、+
100、3(y-b)
101、=2
102、x-a
103、+3
104、y-b
105、<2ε+3ε=5ε.所以
106、2x+3y-2a-3b
107、<5ε.定理2如果a,b,c是实数，那么
108、a-c
109、≤
110、a-b
111、+
112、b-c
113、当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立
114、。证明：根据绝对值三角不等式有
115、a-c
116、=
117、(a-b)+(b-c)
118、≤
119、a-b
120、+
121、b-c
122、当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。B【点评】
123、a±b
124、≤
125、a
126、＋
127、b
128、，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．本题是绝对值不等式性质的简单应用．绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．【思路】变形使其能运用绝对值不等式证明．【点评】
129、
130、a
131、－
132、b
133、
134、≤
135、a±b
136、≤
137、a
138、＋
139、b
140、是直接证明含有绝对值不等式的重要依据，有些情况下，
141、需将绝对值运算符号去掉，将问题转化后解决．条件
142、x－a
143、＜1在本题的求解过程中的运用也是本题的一个特色．例4．设函数f(x)＝
144、x－1
145、＋
146、x－2
147、.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式
148、a＋b
149、＋
150、a－b
151、≥
152、a
153、f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．DC小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：
154、a+b
155、≤
156、a
157、+
158、b
159、(a,b∈R,ab≥0时等号成立）
160、a-c
161、≤
162、a-b
163、+
164、b-c
165、(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。
