考研数学巧对称性计算第二类空间曲线积分.doc

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1、考研数学：巧用对称性计算第二类空间曲线积分来源：文都教育曲线积分和曲面积分是高等数学的一个重要章节，是考研数学（一）的必考内容之一，也是一个难点。由于空间曲线积分和曲面积分需要一定的空间想象能力，并且其计算也相对比较复杂，因此有很多同学对这一部分理解起来比较困难，学起来比较吃力。为了帮助同学们更好地理解和掌握这部分知识，下面文都教育的蔡老师对第二类空间曲线积分中的对称性及其运用进行一些分析，供考研数学（一）的同学和学习这部分的在校同学参考。一、第二类空间曲线积分的对称性第二类空间曲线积分的对称性包括以下多种情形：1）若空间曲线关于平面对称，

2、在平面上方部分为，则，，，即对于和是偶零奇倍，对于是奇零偶倍。注：若曲线关于平面或关于平面对称，则有类似结论。证：设的参数方程为，其中，则在平面下方部分曲线的方程为，其中，如图所示：，若关于是偶函数，则，；若关于是奇函数，则，，故，同理。类似可得若关于是偶函数，则；若关于是奇函数，则，故。2）若空间曲线关于原点对称，且过原点，在原点一侧的部分为，则，对和亦有类似结论。证：设的参数方程为，其中，则在原点另一侧的部分的方程为，其中，如图所示：，若关于是奇函数，则，；若关于是偶函数，则，；故。3）若空间曲线关于原点对称，且不过原点，在平面上方部分

3、为，则，对和亦有类似结论。证：设的参数方程为，其中，则在原点另一侧的部分的方程为，其中，如图所示：，若关于是偶函数，则，；若关于是奇函数，则，；故。4）若空间曲线关于平面对称，则，，，该对称性称为轮换对称性（对换反号）。注：若曲线关于平面或对称，则有类似结论。证：设曲线位于平面两侧的部分分别为和，的参数方程为，其中，则的参数方程为，其中，,，故；同理可得，。二、典型例题分析例.计算，其中是与的交线，从轴的正向看为顺时针方向。解：法1：（用对称性）因为曲面与都是关于原点对称的，所以它们的交线也是关于原点对称的，而对于都是偶函数，不经过原点，根

4、据原点对称性可得，因此。法2：（用斯托克斯公式）设围成的平面的接口为，取下侧，则的法向量为，方向余弦为，由斯托克斯公式得。从上面的分析可知，第二类空间曲线积分的对称性计算包括：对某个坐标平面的对称性（平面）、原点对称性（分为：曲线过原点和不过原点两种情形）、轮换对称性（关于平面或对称），其中的一些对称性与定积分、重积分及第一类曲线积分的对称性是完全相反的，大家要注意它们之间的差别。关键词：考研数学曲线积分第二类空间曲线积分对称性