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《利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法_刘富贵》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、交通科学第30卷第6期武汉理工大学学报(与工程版)Vol.30No.62006年12月JournalofWuhanUniversityofTechnologyDec.2006(TransportationScience&Engineering)利用对称性计算*第二类曲线积分与曲面积分的方法1)2)刘富贵鲁凯生1)2)(武汉理工大学理学院能源与动力工程学院武汉430063)摘要:由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法,
2、并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.关键词:曲线积分;曲面积分;对称中图法分类号:O172.2b1第二类曲线积分的对称性问题∫P(x,y)dx={P[x,y(x)]-L∫ab定理1设L为xoy平面上关于x轴对称的一P[x,y(x)]}dx=∫a0dx=0[1]条有向光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设为2)当P(x,y)关于y为奇函数时,有by=±y(x),(a≤x≤b).记L1,L2分别为L位于x∫P(x,y)dx={P[x,y(x)]+L∫a轴的上半部分与下半部分,L1,
3、L2分别在x轴上b的投影方向相反,函数P(x,y)在L上连续,那么P[x,y(x)]}dx=∫2P[x,y(x)]dx=a1)当P(x,y)关于y为偶函数时,则∫2P(x,y)dxL1∫P(x,y)dx=0L注1对于∫Q(x,y)dy有类似定理1的结2)当P(x,y)关于y为奇函数时,则L论.∫P(x,y)dx=2p(x,y)dxL∫L1注2定理1可用两句口诀来简言之,即证明依定理条件不妨设“反·对·偶·零”与“反·对·奇·倍”.其中:L1:y=y(x),x从点a变到点b.“反”指L1,L2在x轴上的投影方
4、向相反(L=L1+L2);“对”指L关于x轴对称;“偶”指被积函数L2:y=-y(x),x从点b变到点a.P(x,y)在L上关于y为偶函数;“零”指曲线积分于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有的结果等于零.口诀“反·对·奇·倍”的涵义类∫P(x,y)dx=P(x,y)dx+P(x,y)dx=L∫L∫L似解释.12baP[x,y(x)]dx+P[x,-y(x)]dx=关于曲线积分∫P(x,y)dx还有另一个对称∫a∫bLb性的结论是∫{P[x,y(x)]-P[x,-y(x)]}dxa定理2设L为xoy平面上
5、关于y轴对称的一故1)当P(x,y)关于y为偶函数时,有条有向光滑曲线弧,其方程为y=y(x),(-a≤x收稿日期:20060613刘富贵:男,57岁,副教授,主要研究领域为图论*国家自然科学基金项目资助(批准号:60574012)·1070·武汉理工大学学报(交通科学与工程版)2006年第30卷[2]≤a),记L1,L2分别为L位于y轴的右半部分与左影都是针对x轴而言的,而定理2中积分曲线弧半部分,L1,L2分别在x轴上的投影方向相同,函的对称性及其投影是分别针对y轴和x轴而言数P(x,y)在L上连续,那
6、么的.另外,被积函数P(x,y)的奇偶性也是分别针1)当P(x,y)关于x为奇函数时,则对不同的变量而言的,故定理2的结论恰好与定理1相反,定理2用口诀简言之是:“同·对·奇·∫P(x,y)dx=0L零”与“同·对·偶·倍”.其中:“同”指L1,L2分2)当P(x,y)关于x为偶函数时,则别在x轴的投影方向相同;“对”指L关于y轴对∫P(x,y)dx=2P(x,y)dx称;“奇”指被积函数P(x,y)关于x为奇函数;L∫L1“零”指曲线积分结果等于零.“同·对·偶·倍”证明依定理条件不妨设的涵义类似解释.L
7、1:y=y(x),x从点0变到点a.L2:y=y(x),x从点-a变到点0.(a>0)2第二类曲面积分的对称性问题于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有∫P(x,y)dx=与第二类曲线积分类似有以下结论.L定理3设E为关于xoy平面对称的有向光∫P(x,y)dx+P(x,y)dx=L1∫L2滑曲面,其方程是一双值函数,设为z=±z(x,a0y),(x,y)∈Dxy(其中Dxy为E在xoy平面上的投∫P[x,y(x)]dx+P[x,y(-x)]dx0∫-a影区域),记E1,E2分别为E位于xoy平面的上半对右
8、端第2个积分,令x=-t,有部分与下半部分,E1与E2的侧关于xoy平面相0∫P[(x,y)(-x)]dx=反,函数R(x,y,z)在E上连续,那么-a1)当R(x,y,z)关于z为偶函数时,则aa∫P[(-t,y(t))]dt=P[-x,y(x)]dx0∫0R(x,y,z)dxdy=0E因此有2)当R(x,y,z)关于z为奇函数时,则∫P(x,y)dx=LR(x,y,z)dxdy=2R(x,y,z)dxdyaa
